Рассмотрим выражение вида

, (1)

называемое бесконечным рядом, где — члены ряда.

Ряд называется числовым, если членами ряда являются числа, и функциональным, если членами ряда являются функции.

Сумма конечного числа первых n членов называется

n –ой частичной суммой ряда:

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда и ряд называется сходящимся. Если предел не существует, то ряд расходится и суммы не имеет.

Отметим следующие свойства рядов.

1. На сходимости ряда не сказывается отбрасывание конечного числа его членов.

2. Сходимость ряда не нарушится, если все члены умножить на одно и то же ненулевое число.

3. Сумма (разность) сходящихся рядов есть ряд сходящийся.

Необходимый признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел n -ого члена равен нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

. (2)

Условие (2) является необходимым, но не достаточным условием сходимости, поэтому если , то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Однако, если , то ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим предел общего члена ряда u_n:

, поэтому ряд расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. . Необходимый признак не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда.

Сформулируем достаточные признаки сходимости некоторых рядов и вернемся к решению примера.

В первую очередь рассмотрим числовые ряды.

Числовые ряды