2015-10-22
271
Образцы решения заданий
Пример 1. Найти ранг матрицы
.
Решение.
Приведем матрицу А к каноническому виду 
путем элементарных преобразований. Прибавляя к элементам первого столбца элементы третьего, а из элементов третьего вычитая элементы второго столбца соответственно, получим
А ~ 
.
Умножим элементы первого столбца на 
, затем вычтем из элементов третьей строки элементы первой строки соответственно:
А ~ 
~ 
.
Из элементов третьей строки вычтем элементы второй, умноженные на 4, а затем к элементам второго и третьего столбцов прибавим элементы первого столбца, умноженные соответственно на 3 и на 1:
А ~ 
~ 
.
Таким образом, ранг матрицы А равен 2.
Пример 2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.
.
Решение.
Рассмотрим минор первого порядка 
, следовательно, ранг матрицы 
.
Далее рассмотрим минор второго порядка: 
, т.к. минор второго порядка отличен от нуля, то 
. Найдем значение минора третьего порядка:
, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. 
.
Пример 3. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений
(1)
Решение.
Вычислим определитель системы
.
Так как Δ ≠ 0, то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Для этого найдем 
:
.
Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получим искомое решение системы: 
.
Пример 4. Найти решение системы примера 3 с помощью обратной матрицы.
Решение.
Здесь
.
Так как определитель матрицы системы отличен от нуля: |A|=-26, то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы 
вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы 
. Транспонированная матрица имеет вид:
.
Матрица , обратная к матрице А имеет вид
.
Проверим правильность вычисления , исходя из определения обратной матрицы и используя формулу 
: 
Матричное решение системы имеет вид
,
откуда следует (из условия равенства двух матриц), что 
.
Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение.
Здесь
.
Расширенная матрица системы имеет вид
.
Выполним прямой ход метода Гаусса.
Шаг 1. Для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:
.
Так как 
, то умножая первую строку на (-2) и на (-1) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй и третьей строкам, исключим переменную 
из всех строк, начиная со второй:
.
Шаг 2. Так как 
, то умножим вторую строку на (-3/5) и прибавим к третьей, таки образом исключим переменную 
из третьей строки:
.
Получили систему уравнений, соответствующую последней матрице:
откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения 
; из второго уравнения найдем 
; из первого уравнения 
.
Ответ: (3; -5; 2).
