Смешанное произведение

Если вектор умножить векторно на вектор , а потом получившийся вектор скалярно умножить на вектор , то полученное число называется смешанным произведением трех векторов.

Обозначается: .

Если известны координаты векторов , то

.

Можно доказать, что модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах, т.е.

- объем параллелепипеда.

- объем пирамиды.

Пример (см.задание 1.5)

Найти объем пирамиды с вершинами А₁(0,-1,2), А₂(-1,0,6), А₃(-2,1,0), А₄(0,1,4).

Решение.

.

.

Тогда объем пирамиды:

.

Ответ: .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Прямая на плоскости

- каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку A₁(x₁, y₁), параллельно вектору .

- направляющий вектор.

- уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки A(x₁, y₁), A(x₂, y₂).

y-y₁=k(x-x₁) уравнение пучка прямых с центром A(x₁, y₁) и угловым коэффициентом k.

y=kx+b уравнение прямой с угловым коэффициентом.

A(x-x₁)+B(y-y₁)=0 уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

- нормаль прямой.

После упрощения последнего уравнения получаем:

Ax+By+C=0 - общее уравнение прямой, где C=-(Ax₁+By₁).

Угловой коэффициент прямой находим по формуле .

Угол между двумя прямыми равен углу между их нормалями или направляющими векторами (см. скалярное произведение).

Если - угловые коэффициенты двух прямых, то

при - прямые параллельны,

при - прямые перпендикулярны.

Пример

Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3, 4):

а) параллельно прямой 2x-5y+1=0,

b) перпендикулярно прямой 2x-5y+1=0.

Решение.

а) 2x-5y+1=0; .

.

Если прямые параллельны, то .

Используем уравнение y-y₁=k(x-x₁), где , М(3, 4).

y-4= (x-3);

5(y-4)=2(y-3);

2x+5y+14=0.

b) Если прямые перпендикулярны, то .

;

;

.