Квадраты на клетчатой бумаге

Квадраты какой площади можно нарисовать на клетчатой бумаге? (Вершины должны лежать в вершинах клеток.) Для начала попробуйте нарисовать квадраты площадью 1, 2, 4, 5, 8, 13, 26 клеток.

Формула Пика

На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах клеток. Как найти его площадь, подсчитывая лишь количества узлов?

Разбиение многоугольника на равновеликие треугольники

Рассмотрим в n-угольнике точку M, обладающую следующим свойством: если соединить её отрезками с вершинами, то получатся n равновеликих треугольников. Для каких многоугольников такая точка найдётся? Сколько таких точек может быть? Какими свойствами они обладают?

Восстановление многоугольника

На доске нарисован многоугольник. Отметили середины его сторон, а сам многоугольник стёрли. Как восстановить многоугольник по серединам сторон? Сколько решений имеет задача?

Равноугольные шестиугольники и равносторонние шестиугольники

1. Назовём многоугольник равноугольным, если у него все углы равны. Например, равноугольный четырёхугольник – это прямоугольник. У него равны противоположные стороны, диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам и т.д. А какие свойства есть у равноугольного шести угольника?

2. Назовём многоугольник равносторонним, если у него равны все стороны. Например, равносторонний четырёхугольник – это ромб. У него равны противоположные углы, диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам и т.д. А какие свойства есть у равностороннего шести угольника?

3. Изучите свойства равноугольных и равносторонних многоугольников, которые являются вписанными или описанными около окружности.

Двуправильные» шестиугольники

Будем называть шестиугольник «двуправильным»[1], если у него стороны равны через одну и углы равны через один. Найдите и докажите свойства двуправильных шестиугольников. (Двуправильный четырёхугольник – это параллелограмм, у него много интересных свойств.)

Замечательные точки

1. Даны две фиксированные точки окружности A и B и «переменная» точка окружности C. По какой траектории движутся точки пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника ABC, когда точка C «пробегает» окружность?

2. Пусть в плоскости даны точка A – вершина треугольника, и точка O – его центр описанной окружности. Где может находиться точка пересечения медиан G?

3. Пусть в плоскости даны две точки O и H, и ∆ обозначает любой треугольник, для которого точка O является центром его описанной окружности, а точка H — его ортоцентром. Где могут находиться вершины треугольника ∆?

Сложение фигур

Пусть заданы две фигуры F и G. Назовём полусуммой этих фигур множество всех середин отрезков, один конец которых принадлежит F, а другой – G. Что является полусуммой двух отрезков? Какие фигуры могут быть полусуммами многоугольников?

Темы по геометрии см. также в [Ст 7, 10, 11].

КОМБИНАТОРИКА

Почти все задачи по формулировкам и начальным ходам доступны младшеклассникам, а вот полное решение обычно требует некоторой математической культуры. Поэтому можно сказать, что это задачи на вырост – ученику полезно встречаться с ними несколько раз на разном уровне строгости и обобщения.

Разрезы

На сколько частей можно разбить плоскость n прямыми? Укажите наибольшее и наименьшее число частей. Как надо резать?

Раскраски

Сколькими способами можно раскрасить шесть граней одинаковых кубиков шестью красками по одной на грани так, чтобы никакие два из получившихся раскрашенных кубиков не были одинаковыми (не переходили один в другой при каком-то вращении)?