З дисципліни «Фінансова математика»

№ п/п	Зміст завдання
	Особа iнвестує в ринок, на якому дiє велика кiлькiсть спотових i форвардних ставок. Якщо в момент t = 0 вона вкладає 1000 грн на два роки, то отримає 1118 грн у момент t = 2. Iнакше, якщо в момент t = 0 вона погоджується iнвестувати 1000 грн у момент t = 1 на два роки, то вона отримає 1 140 грн у момент t = 3. Але, якщо в момент t = 0 вона погоджується iнвестувати 1000 грн у момент t = 1 на один рiк, вона отримає 1058 грн в момент t = 2. Пiдрахуйте: а) однорiчну, дворiчну та трирiчну спотовi ставки в момент t = 0, враховуючи заданi ставки; б) трирiчний номiнальний дохiд у момент t = 0 на цьому ринку.
	Iнвестор придбав звичайну акцiю за два мiсяцi до виплати наступного дивiденду розмiром 12 коп за акцiю. Дивiденди сплачуються щорiчно. Iнвестор передбачає, що дивiденди зростатимуть з постiйною ставкою 4 % рiчних безстроково. Пiдрахуйте цiну за акцiю, яку iнвестор сплатить, щоб отримати чистий дохiд 7%.
	1. Покажiть, що сучасна вартiсть зростаючого ануїтету . 2. Пiдрахуйте: a) сучасну вартiсть ануїтету з ефективною ставкою 3 % рiчних, за яким 10 грн сплачуються наприкiнцi першого року, 12 наприкiнцi другого року i так далi з виплатами, що збiльшуються на 2 грн за рiк упродовж 20 рокiв, пiсля чого виплати припиняються; б) заборгованiсть за капiталом вказаного ануїтету наприкiнцi 15-го року пiсля виплати, зробленої на той момент; в) складовi виплат за вiдсотком i за капiталом у 16-й виплатi.
	Iнтенсивнiсть вiдсотка (t) = 0,12. Час вимiрюється роками. Визначити номiнальну рiчну ставку вiдсотка для депозиту: а) на 7 днiв; б) на 1 мiсяць; в) на 6 мiсяцiв.
	Звичайна акцiя приносить щорiчний дохiд у дивiдендах. Перший дивiденд очiкується розмiром 5 коп за акцiю i його виплатять через три мiсяцi. Очiкується, що наступнi дивiденди зростуть зi ставкою, що становить 4 % за рiк у складних вiдсотках, i що iнфляцiя буде 1,5 % рiчних. Цiна акцiї 1 грн 25 коп i дивiденди очiкуються довiчно. Пiдрахуйте ефективну реальну рiчну норму прибутку iнвестора, що придбав акцiю.
	1. Пiдрахуйте значення при ефективнiй рiчнiй вiдсотковiй ставцi 13%. 2. Пояснiть фiнансовий змiст числа, отриманого у пунктi 1.
	Iнвестор купує ануїтет, що виплачується неперервним чином протягом n рокiв, де n — цiле число. Iнтенсивнiсть виплати ануїтету є лiнiйною функцiєю часу. 1. Вимiрюючи час у роках, з моменту купiвлi ануїтету, i позначаючи через I_k (k = 1, 2,..., n) суму, виплачену за ануїтетом протягом k -го року, виразити через I ₁ i I ₂ рiчну iнтенсивнiсть виплати в момент t. Обчислити також загальну суму, виплачену за ануїтетом до моменту часу t. 2. Вважаючи iнтенсивнiсть вiдсотка сталою i рiвною , виразити сучасну вартiсть ануїтету через n, , I ₁ i I ₂. 3. Нехай = 1,06, n = 20, I ₂ = 1,07 I 1, сучасна вартiсть ануїтету 9047грн. Визначити I ₁ та сучасну вартiсть частини ануїтету, виплаченої протягом останнього року.
	Нехай Визначити v (t) при всiх t ≥ 0.
	Нехай iнтенсивнiсть вiдсотка у момент t задається формулою (t) = ae ⁻ ^bt. 1. Довести, що сучасна вартiсть суми, що в момент t дорiвнює 1, дорiвнює 2. Нехай iнтенсивнiсть вiдсотка задається рiвнiстю (t) = ae⁻^b^t, вiдомо, що вона в момент t = 0 дорiвнює 0,10, а через 10 рокiв ця iнтенсивнiсть зменшиться вдвiчi. Визначити сучасну вартiсть серiї з чотирьох щорiчних виплат, кожна в 1000 грн, перша виплата вiдбудеться в момент t = 1. 3. При якому значеннi сталої iнтенсивностi вiдсотка серiя виплат матиме ту саму сучасну вартiсть?
	Кредит розмiром у 80 000 грн виплачується протягом 25 рокiв однаковими щомiсячними частковими внесками iз заборгованiстю за капiталом i вiдсотками. Погашення пiдраховуються з використанням ефективної вiдсоткової ставки 8 % рiчних. 1. Пiдрахуйте: а) капiтальну складову першого мiсячного часткового внеску; б) загальну суму вiдсоткових складових виплат за останнi 6 рокiв; в) виплату за вiдсотками в останньому щомiсячному платежi. 2. Пояснiть, як змiниться (збiльшиться чи зменшиться) вiдповiдь в пунктi 1б), якщо згiдно з початковими умовам займу, виплати здiйснюватимуться рiдше, нiж щомiсяця.
	Пiдприємець, що займається автомобiлями, розробляє нову модель машини, яку вироблятиме з 1 сiчня 2002 року протягом шести рокiв до 31 грудня 2007. Вартiсть розробки становитиме 33 млн грн, з яких 18 млн грн буде внесено 1 сiчня 2000 року, 10 млн грн 1 липня 2000 року i 5 млн грн 1 сiчня 2001 року. Собiвартiсть кожної машини буде внесено на початку вiдповiдного календарного року, i вона становитиме 9 000 грн протягом 2002 року. Цiну продажу кожної машини буде отримано наприкiнцi календарного року виробництва. Собiвартiсть продукцiї i цiна продажу збiльшуватимуться на 5 % кожного 1 сiчня, перше збiльшення вiдбудеться 1 сiчня 2003 року. Також припускається, що 5 000 машин вироблятиметься щороку i що всi вони продадуться. Цiна продажу кожної машини, яку вироблено в 2002 роцi, становить 12100 грн. 1. Пiдрахуйте дисконтований перiод погашення платежiв з ефективною вiдсотковою ставкою 9 % за рiк. 2. Не проводячи будь-яких наступних обчислень, пояснiть, чи буде дисконтований перiод погашення платежiв бiльше, дорiвнювати або менше перiоду, пiдрахованого у пунктi 1, якщо ефективна ставка вiдсотка буде значно менше, нiж 9 % за рiк.
	Для iнтенсивностi вiдсотка (t) = 0,01(t 3 − 9 t) обчислити еквiвалентну ефективну рiчну вiдсоткову ставку за перiод з t = 3 до t = 4.
	Iнвестицiйний проект складається з наступних грошових потокiв. З початку кожного з перших трьох рокiв 180000 грн буде iнвестовано в проект. З початку першого року до кiнця 25-го року чистий дохiд надходитиме неперервно. Початкова iнтенсивнiсть виплат чистого доходу дорiвнює 25000 грн за рiк. Iнтенсивнiсть виплат зростатиме неперервно зi швидкiстю 6% на рiк. 1. Пiдрахуйте чисту зведену вартiсть проекту при ефективнiй вiдсотковiй ставцi 7 % рiчних. 2. Пiдрахуйте дисконтований перiод виплат за проектом при ефективнiй вiдсотковiй ставцi 7% рiчних. 3. Пiдрахуйте рiчну ефективну ставку зростання чистого доходу, яка потрiбна для того, щоб проект мав нульову зведену вартiсть з ефективною вiдсотковою ставкою 7% рiчних.
	Є три облiгацiї, за якими сплачуються рiчнi купони в 7% iз заборгованiстю i якi погашають по 105 грн на 100 грн номiналу в одно-, дво- та трирiчний перiод вiдповiдно. Цiна кожної облiгацiї становить 98 грн за 100 грн номiналу. 1. Визначте дохiд брутто вiд трирiчної облiгацiї. 2. Пiдрахуйте всi можливi спотовi ставки, враховуючи надану iнформацiю.
	Iнтенсивнiсть вiдсотка (t) задано формулою: Пiдрахуйте: а) сучасну вартiсть одиничної суми грошей на момент часу t = 10; б) ефективну вiдсоткову ставку за перiод з t = 9 по t = 10; в) сучасну вартiсть v (t) одиничної суми грошей, яку сплатять за перiод 0 < t ≤ 5, у термiнах t; г) сучасну вартiсть потоку платежiв, що надходять неперервно за перiод 0 < t ≤5 з iнтенсивнiстю платежiв (t) = e ^0,04 ^t.
	Нова група менеджменту розглядає справи фiнансової компанiї. Вона з’ясувала, що компанiя має пасиви 15 млн грн, якi потрiбно виплатити через 13 рокiв, i 10 млн грн, якi потрiбно виплатити через 25 рокiв. Активи складаються з двох облiгацiй з нульовим купоном, за одною сплачується 12,425 млн грн через 12 рокiв, за iншою – 12,946 млн.грн. через 24 роки. Поточна ефективна вiдсоткова ставка становить 8 % рiчних. Визначте, чи виконуються необхiднi умови iмунiзацiї фiнансової компанiї вiдносно малих змiн у вiдсотковiй ставцi.
	Iнвестор придбав облiгацiю через три мiсяцi пiсля випуску. Облiгацiю буде погашено за номiнальною цiною через 10 рокiв пiсля випуску i за нею виплачуються купони у розмiрi 6 % рiчних щорiчно з заборгованiстю. Iнвестор виплачує 25 % податку як на прибуток, так i на прирiст капiталу (за вiдсутностi пiльги на податок з приводу iндексацiї). 1. Пiдрахуйте цiну, за якою придбано облiгацiю в 100 грн номiналу, якщо ефективна норма прибутку дорiвнює 8 % рiчних. 2. Ефективна норма прибутку, яка очiкується iнвестором вiд облiгацiї, становить 3 % на рiк. Пiдрахуйте щорiчну iнфляцiю, яку очiкує iнвестор.
	Iнтенсивнiсть вiдсотка (t) задано так: (t) = 0,005 t + 0,0001 t ², t ≥ 0. Пiдрахуйте: а) суму, накопичену на момент t = 8 iнвестицiєю розмiром у 100 грн, яку зроблено в момент t = 0; б) сталу рiчну ефективну вiдсоткову ставку за восьмирiчний перiод.
	Банк надає деякому iндивiдууму кредит у 100000 грн з фiксованим вiдсотком на 25 рокiв. Для погашення боргу на початку кожного мiсяця виплачуються однаковi внески, розрахованi з ефективною ставкою 6 % рiчних. Через 10 рокiв боржник має можливiсть повернути будь-яку частину невиплаченого боргу i взяти новий кредит, що дорiвнює невиплаченому залишку початкового боргу (за умови, що вiдсоток за цей кредит на 15 рокiв буде на той момент менший за 6 % рiчних). Новий борг також повертатиметься однаковими внесками на початку кожного мiсяця. 1. Пiдрахуйте суму часткового внеску початкового кредиту. 2. Визначте капiтальну i вiдсоткову складовi 25-го внеску. 3. Боржник використовує можливiсть викупу частини боргу через 10 рокiв. Вiдсоткова ставка на подальшi 15 рокiв дорiвнюватиме 2% рiчних. Початковий борг виплачується повнiстю i береться нова позика на 15 рокiв у розмiрi, що дорiвнює капiтальнiй складовiй початкового боргу, яка залишилася на той момент. Визначте: а) розмiр щомiсячної виплати, що йде на погашення нового боргу; б) iз розрахунку 2 % рiчних вартiсть на момент взяття нової позики суми, яку заощадить боржник, якщо вiн використає можливiсть викупу.
	Iнтенсивнiсть вiдсотка (t) в будь-який момент t, що вимiрюється в роках, задається формулою 1. Якщо 500 грн. інвестуються в момент t = 2 i наступнi 800 грн iнвестуються в момент t = 9, підрахуйте накопичену суму в момент t = 10. 2. Визначте постiйну ефективну рiчну ставку вiдсотка з точнiстю до 1 %, для якої результат буде такий самий, як i в пунктi 1.
	1. Iнвестор вирiшує, чи потрiбно вкладати iнвестицiї в проект. Пояснiть, чому дисконтований перiод повернення платежiв є гiршим критерiєм, нiж чиста зведена вартiсть у припущеннi, що iнвестор не обмежений у капiталi. Iнвестор розглядає два проекти: A i B. Проект A передбачає iнвестицiю в розмiрi 1 млн.грн. на самому початку. Єдиний дохiд буде виплачено у розмiрi 3,5 млн.грн. через десять рокiв. Проект B також передбачає iнвестицiю в розмiрi 1 млн.грн. на самому початку. Дохiд вiд цього проекту надходитиме неперервно. Протягом першого року iнтенсивнiсть платежу становитиме 0,08 млн.грн., протягом другого року 0,09 млн.грн., протягом третього року 0,10 млн грн, зi ставкою, що збiльшується на 0,01 млн.грн. щороку, починаючи з цього моменту до кiнця десятого року, пiсля чого надходження припиняться. 2. Пiдрахуйте чисту зведену вартiсть обох iнвестицiйних проектiв з ефективною вiдсотковою ставкою 4 % рiчних. 3. Покажiть, що дисконтований перiод повернення платежiв за проектом А бiльший, нiж за проектом В (без додаткових обчислень). 4. Для обґрунтування Вашої вiдповiдi у пунктi 1 пояснiть, який проект для iнвестора з необмеженим капiталом є бiльш прийнятним i чому.
	Iнтенсивнiсть вiдсотка (t) у момент часу t задано так: Обчислити: а) накопичення на момент t = 15 iнвестицiї в 100 грн, зробленої в момент t = 5; б) еквiвалентну сталу iнтенсивнiсть вiдсотка з моменту t = 5 до моменту t = 15; в) сучасну вартiсть неперервного потоку платежiв з iнтенсивнiстю (t)=100 e ^0,01 ^t, який вiдбувався з моменту t = 0 до моменту t = 5.
	На 1 сiчня 2001 року в фондi накопичено суму в 120000 грн. 1 листопада 2001 року фонд отримав надходження 20 000 грн у чистому виглядi, потiм 1 травня 2002 року фонд отримав 48 000 грн у чистому виглядi. Безпосередньо перед надходженням першої суми в фондi було 137000 грн., а безпосередньо перед надходженням другої суми фонд мав 173000 грн. На 31 грудня 2002 року в фондi було 205000 грн. 1. Обчислiть рiчну ефективну зважену часом норму прибутку, що вiдповiдає прибуткам фонду за перiод з 1 сiчня 2001 року до 31 грудня 2002 року. 2. Проаналiзуйте вiдноснi сильнi та слабкi сторони використання зваженої часом вiдсотковоїнорми прибутку у порiвняннi зi зваженою грошима нормою прибутку, коли порiвнюються переваги двох iнвестицiйних проектiв за один перiод.
	Для деякого банкiвського депозиту для даного року iнтенсивнiсть вiдсотка дорiвнювала 0,15 на початку року, 0,1 в серединi року i 0,08 наприкiнцi року. Обчислити суму, накопичену наприкiнцi року iнвестицiєю 5 000 грн на початку року у таких випадках: а) iнтенсивнiсть вiдсотка є квадратичною функцiєю часу; б) iнтенсивнiсть вiдсотка лiнiйно залежить вiд часу у першому i другому пiврiччях.
	За звичайною акцiєю щороку сплачуються дивiденди. Наступний дивiденд буде 10 грн за акцiю i буде сплачений через 9 мiсяцiв. Очiкується, що наступнi дивiденди зростатимуть зi ставкою 5 % рiчних, i що iнфляцiя становитиме 3 % за рiк. Цiна акцiї дорiвнює 250 грн та дивiденди сплачуватимуться довiчно. Пiдрахуйте очiкувану ефективну реальну норму прибутку за рiк для iнвестора, який придбав акцiю.
	Нехай f_t _, _r – форвардна ставка, що застосовується за перiод вiд t до t + r, y_t є спотовою ставкою за перiод вiд 0 до t. Дохiд брутто вiд однорiчної облiгацiї з 6 %-ним купоном становить 6 % рiчних; дохiд брутто вiд дворiчної облiгацiї з 6%-ним щорiчним купоном становить 6,3 % рiчних; i дохiд брутто вiд трирiчної облiгацiї з 6 %-ним рiчним купоном становить 6,6% рiчних. Всi облiгацiї погашаються за номiналом через один рiк пiсля наступної виплати за купоном. 1. Припускаючи безарбiтражнiсть, пiдрахуйте: а) y ₁, y ₂, y ₃; б) f _0,1, f _1,1, f _2,1. 2. Пояснiть, чому форварднi ставки збiльшуються з часом швидше, нiж спотовi.
	Банк нараховує вiдсотки на депозит, застосовуючи змiнну iнтенсивнiсть вiдсотка. На початку нинiшнього року iнвестор поклав на депозит 20000 грн. Акумульоване значення на цьому рахунку дорiвнювало 20596,21 грн у серединi року i 21183,70 грн наприкiнцi року. За припущень, що час вимiрюється в роках i що протягом року iнтенсивнiсть вiдсотка є лiнiйною функцiєю часу, визначити цю iнтенсивнiсть вiдсотка як функцiю часу i обчислити суму на рахунку, накопичену через 3/4 року.
	Кредит пiдлягає погашенню за допомогою спадного ануїтету, що виплачується щорiчно iз заборгованiстю протягом 20 рокiв. Виплата наприкiнцi першого року становить 6 000 грн i наступнi виплати зменшуються на 200 грн щороку. Виплати розрахованi за ефективною ставкою 9% рiчних. 1. Пiдрахуйте початкову суму кредиту. 2. Побудуйте схеми виплат протягом восьмого року (пiсля сьомої виплати) i дев’ятого, показавши несплачений капiтал на початку року, вiдсоткову i капiтальну складовi виплати у кожному з цих рокiв. 3. Вiдразу ж пiсля дев’ятої виплати вiдсоткiв i капiталу вiдсоткова ставка несплаченого кредиту знизиться до 7 % рiчних. Пiдрахуйте суму десятої виплати, якщо наступнi платежi продовжують зменшуватися на 200грн щороку, i кредит все одно буде виплачено через 20 рокiв.
	Позичальник розраховує короткотермiнову позику з використанням дисконтного комерцiйного вiдсотка D. Це означає, що позика у розмiрi X (1 − Dt) повертається через час t (0,1] у розмiрi X. Для вказаної позики визначити вiдповiдне значення дисконтного вiдсотка d як функцiї вiд D та t. Чи буде ця функцiя зростати або спадати за t на iнтервалi (0,1]?
	Боржник взяв 100 грн i пообiцяв повернути 110 грн через 7 мiсяцiв. Визначити: а) рiчну вiдсоткову ставку; б) рiчну дисконтну ставку; в) рiчну iнтенсивнiсть вiдсотка.
	Пiдприємець має повернути позику у виглядi грошового потоку з виплатами x ₁, x ₂,..., xn у моменти t ₁, t ₂,..., t_n вiдповiдно. Вiн пропонує виплатити всю суму x ₁ + x ₂ +... + x_n у момент . Банк, що надавав позику, пропонує повернути її сплатою суми x ₁ + x ₂ +... + x_n момент часу T, що для даного значення iнтенсивностi банкiвського вiдсотка визначається рiвнiстю: Довести, що t^* > T.
	14 серпня 1984 року ринкова цiна iндексованої облiгацiї казначейства була 85,625% номiналу. Облiгацiя погашається за номiналом 16 квiтня 2020 року, а вiдсотки сплачуються 16 квiтня i 16 жовтня кожного року за ставкою 2,5% рiчних. Вiдсотки i капiтальнi виплати iндексуються за допомогою IРЦ (iндексу роздрiбних цiн) iз запiзненням у 8 мiсяцiв. Облiгацiю випущено у жовтнi 1983 року. Значення IРЦ у лютому 1983 року (тобто “базисне” на 14 серпня) дорiвнювало 327,3, у лютому 1984 року — 344, на 14 серпня 1984 року останнiм вiдомим було значення 351,9 за червень 1984 року. 1. Визначте вiдсоткову виплату на 100 одиниць номiналу у жовтнi 1984 року. 2. 14 серпня 1984 року iнвестор, прибутки якого не оподатковують, пiдраховує реальний ефективний прибуток, який вiн отримає вiд придбання облiгацiї, припускаючи, що IРЦ зростатиме неперервно вiд останнього вiдомого значення з ефективною ставкою 10 % на рiк. Яке значення вiн отримає?
	Iнвестицiйний план передбачає внесення платежiв розмiром у 1000 грн на початку кожного року протягом десяти рокiв, а потiм отримання десяти щорiчних виплат розмiром у 2000 грн, причому перша виплата робиться через рiк пiсля внесення останнього платежу. Визначте рiчну вiдсоткову ставку, що вiдповiдає вказаному iнвестицiйному плану.
	Боржник повинен сплатити банку суму в 6280 грн через 4 роки, 8460 грн через 7 рокiв i 7 350 грн через 13 рокiв. Замiсть цього боржник пропонує банку одне з двох: а) сплатити борг однiєю виплатою, зробленою через 5 рокiв; б) сплатити весь борг, тобто 22 090 грн однiєю виплатою у деякий момент у майбутньому. За припущення, що iнтенсивнiсть вiдсотка стала i дорiвнює ln 1,08 = 0,076961, обчислити потрiбну виплату у випадку а) i момент виплати у випадку б).
	Форвардна ставка з моменту t − 1 до моменту t, f_t ₋_1, _t, має такi значення: f _0,1 = 4,0 %, f _1,2 = 4,5 %, f _2,3 = 4,8 %. Припускаючи вiдсутнiсть арбiтражу, пiдрахуйте: а) цiну трирiчної облiгацiї номiнальною вартiстю 100 грн, за якою виплачується щорiчний купон розмiром у 5% iз заборгованiстю i яку погашають за номiналом точно через три роки; б) дохiд брутто вiд облiгацiї.
	Iнтенсивнiсть вiдсотка набуває таких значень: Обчислити: а) накопичення на 150 грн з моменту часу t = 0 до t = 20; б) сучасну вартiсть (СВ) неперервного потоку платежiв з щорiчною виплатою 10 грн з моменту часу t = 5 до моменту часу t = 10; в) сучасну вартiсть неперервного потоку платежiв з iнтенсивнiстю платежiв e ⁻^0,03 ^t, що триває з моменту часу t = 0 до моменту t = 10.
	Iнвестор має намiр придбати 100 звичайних акцiй у компанiї. Дивiденди вiд акцiй виплачуватимуться щорiчно. Наступний дивiденд очiкується через один рiк i дорiвнюватиме 8 коп за акцiю. Другий дивiденд буде на 8 % бiльше, нiж перший дивiденд i третiй дивiденд – на 7% бiльше, нiж другий. Пiсля цього дивiденди зростатимуть щорiчно на 5 вiдсоткiв безстроково. Пiдрахуйте сучасне значення цього потоку дивiдендiв, що вiдповiдає ефективнiй ставцi вiдсотка 7 % на рiк
	За довiчним цiнним папером вiдсотки розмiром 1,75 грн на 100 грн номiнальної вартостi сплачуються щороку 1 червня i 1 грудня. Пiдрахуйте рiчний ефективний прибуток iнвестора, що не сплачує податкiв, якщо вiн придбав 100 грн номiналу даного цiнного паперу 14 серпня 1984 року за цiною 35,125 грн.
	Для вiдсоткової ставки 7% рiчних, що сплачується щомiсяця, пiдрахуйте: а) еквiвалентну рiчну ставку вiдсотка, що сплачується раз у пiвроку; б) еквiвалентну рiчну дисконтну ставку, що сплачується щомiсяця.
	Урядом випущено 90-деннi казначейськi векселi з простою дисконтною ставкою 5% на рiк. Пiдрахуйте норму прибутку за рiк, яка конвертується щопiвроку, що її отримає iнвестор, який придбав вексель i тримає його до термiну погашення.