2015-10-22
551
Тема 3. Основные понятия векторной алгебры.
Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве.
Тема 5. Аналитическая геометрия на плоскости.
Задача 1. Найти косинус угла между векторами 
и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, если известны координаты точек 
.
Решение. Найдем координаты векторов .
.
Угол между векторами найдем с помощью скалярного произведения векторов 
, где 
и 
, 
.
Тогда 
.
Площадь параллелограмма найдем с помощью модуля векторного произведения векторов .
и 
.
Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды
. Найти уравнение прямой 
, уравнение плоскости 
, уравнение высоты, опущенной из вершины 
на грань , вычислить объем пирамиды и расстояние от точки до плоскости .
Решение. Найдем координаты векторов
.
Напишем уравнение прямой , проходящей через точку 
коллинеарно вектору 
: 
.
Для того, чтобы написать уравнение плоскости используем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
. Раскрывая определитель, получаем уравнение
|
|
|
.
Упростим полученный результат, и находим уравнение плоскости : 
.
Нормальный вектор плоскости 
коллинеарен высоте пирамиды 
, а значит он является направляющим вектором прямой .
Таким образом, уравнение высоты имеет вид
.
Объем пирамиды вычислим используя геометрический смысл смешанного произведения: 
. Смешанное произведение вычислим как определитель третьего порядка составленный из координат векторов 
. Следовательно, объем пирамиды 
.
Расстояние от точки до плоскости можно вычислить, если воспользоваться формулой 
, где 
уравнение некоторой плоскости, а 
точка, не принадлежащая данной плоскости.
Тогда 
.
Задача 3. Даны координаты вершин треугольника
.
Найти: а) уравнение высоты 
; б) уравнение медианы 
; в) точку 
пересечения медианы и высоты ; г) уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно стороне 
.
Решение.
а) Найдем координаты вектора 
. Т.к. высота 
, то 
является нормальным вектором для прямой , таким образом уравнение высоты имеет вид 
.
Упростим полученное уравнение и получим 
.
б) Вычислим координаты точки 
, как координаты середины отрезка 
. Тогда уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид 
.
Выполним преобразование полученного уравнения
.
в) Вектор коллинеарен искомой прямой, а значит служит для этой прямой направляющим вектором. Каноническое уравнение этой прямой имеет вид 
. Выполнив преобразования, получим 
.
Задача 4. Составить уравнение линии, каждая точка 
которой отстоит от точки 
на расстоянии в три раза большем, чем от прямой 
.
рис.1
Решение. Пусть точка 
принадлежит искомой линии. Тогда расстояние 
в три раза больше, чем расстояние 
. Составим уравнение 
и преобразуем его. 
|
|
|
. Продолжим преобразования 
. Выделим полный квадрат по переменной 
и получим 
или 
. Получили уравнение гиперболы, центр которой находится в точке с 
, а полуоси 
.
рис.2
