Тема 6. Предел последовательности. Предел функции, непрерывность функции.
Задача 1. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1.1. а) ,;
б) ;
в)
1.2. а) ;
б) ;
в)
1.3. а) ;
б) ;
в)
1.4. а) ;
б) ;
в)
1.5. а) ;
б) ;
в)
1.6. а) ;
б) ;
в)
1.7. а) ;
б) ;
в)
1.8. а) ;
б) ;
в)
1.9. а) ;
б) ;
в)
1.10. а) ;
б) ;
в)
Задача 2. Вычислить пределы функций
2.1. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е .
2.2. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е)
2.3. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
2.4. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
2.5. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
2.6. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
2.7. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
2.8. а) ; б) ;
в) ; е) ;
д) ; е) .
2.9. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
2.10. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
Задача 3. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
Разбор заданий контрольной работы № 1
Задача 1. Найти: а) область определения функции ;
б) значение функции в точке .
Решение.
а) Так как является дробно-рациональной функцией, то областью определения этой функции представляет собой множество всех комплексных чисел, исключая те, которые обращают знаменатель в ноль. Составим и решим уравнение . Уравнение имеет комплексные корни, так как его дискриминант . Найдем корни: . Таким образом, областью определения функции является множество всех комплексных чисел кроме .
|
|
б) Найдем значение функции в заданной точке .
Выполним действия
.
Для того, чтобы поделить два комплексных числа числитель и знаменатель дроби умножим на число сопряженной знаменателю получим .
Таким образом, .
Задача 2. Найти все решения уравнения , используя формулу Муавра, ответ записать в тригонометрической форме.
Решение.
Преобразуем уравнение так, чтобы выразить .
или .
Найдем тригонометрическую форму комплексного числа:
. ,
так как .
Тогда .
Используем формулу Муавра
.
Уравнение имеет 3 комплексных корня, получаемых при различных значениях .
.
Задача 3. Решить матричное уравнение , где
, , , ,
Решение:
Убедимся, что матрица не является вырожденной, то есть обладает обратной матрицей. Для этого вычислим её определитель:
.
Разложим определитель, например, по элементам второго столбца:
210.
Определитель отличен от нуля, поэтому обратная матрица существует, и мы можем вычислить обратную матрицу по формуле:
.
Вычислим алгебраические дополнения:
Таким образом, матрица, составленная из алгебраических дополнений, имеет вид:
()
Транспонирование матрицы – такое преобразование этой матрицы, при котором ее строки становятся столбцами с теми же номерами. Транспонированная матрица к матрице () будет выглядеть так:
,
тогда
или .
Таким образом, уравнение имеет единственное решение. Выполним преобразование левой части уравнения
|
|
, , ,
.
Обозначим произведение матриц , где матрица размерности элементами .
Получим . .
Матрица
и .
Исходное уравнение принимает вид
.
Умножим левую и правую части уравнения слева на , получаем ,
.
Задача 4. Решить систему уравнений, используя правило Крамера
Решение:
Вычислим определитель матрицы, составленной из коэффициентов, стоящих при переменных в предложенной системе линейных уравнений:
Его назовем главным определителем, . Если главный определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение и найти его можно по правилу Крамера. Для этого заменим в матрице коэффициентов первый столбец на столбец свободных членов, и вычислим определитель такой матрицы:
Аналогичным образом, получаем матрицы с замененными вторым и третьим столбцами соответственно, затем, вычислим определители этих матриц.
Решение системы можно найти таким образом:
Задача 5. Доказать совместность системы и найти ее решение
Решение:
Запишем расширенную матрицу системы
Вычтем из второй строки первую, предварительно умноженную на 4
Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 5
Наконец, вычтем из четвертой строки первую, умноженную на два
Затем вторую строку умножим на – 1 и прибавим ее к третьей и четвертой строкам
.
Ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен 2. Число свободных неизвестных в общем случае равно , где n – количество неизвестных системы, r – ранг матрицы системы. У нас число свободных неизвестных равно 4 – 2 = 2.
Новой расширенной матрице соответствует система
.
Пусть – свободные переменные, принимающие любые действительные значения. Все остальные неизвестные выразим через них. Из второго уравнения системы выразим .
Подставляя найденное выражение для в первое уравнение, получаем
.
Таким образом, общее решение системы имеет вид ( R).