2015-10-22
706
Система открытого образования
О.Б. Плющ
Высшая математика
Курс лекций
Часть I
3-издание, стереотипное
Элементарная математика
Аналитическая геометрия
Линейная алгебра
Минск
УДК 51
ББК 22.1
П40
Серия основана в 2001 году
Рекомендовано к изданию Комиссией по приемке и аттестации электронных версий учебных и учебно-методических материалов Академии управления при
Президенте Республики Беларусь.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Академии управления при Президенте Республики Беларусь.
|
| ISBN 985-457-448-2 (ч.I) | ã | Плющ О.Б., 2004 |
| ISBN 985-457-447-4 | ã | Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004 |
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.. 7
Лекция 1. Основы математической логики. 7
Высказывания и логические связки. 9
Контрольные вопросы к лекции №1. 12
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА.. 13
Лекция 2. Элементы теории множеств. 13
Основные понятия. 13
Основные операции над множествами. 15
Отображения. 18
Отношения эквивалентности и упорядоченности. 21
Контрольные вопросы к лекции №2. 23
Лекция 3. Числовые множества. 24
Основные понятия. 24
Соединения. Бином Ньютона. 26
Комплексные числа. 28
Операции над комплексными числами. 30
Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного
числа. 34
Контрольные вопросы к лекции №3. 36
ТЕМА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.. 37
Лекция 4. Векторы.. 37
Основные понятия. 37
Линейные операции над векторами. 39
Проекция вектора на ось. 41
Линейная зависимость векторов. 41
Базис. Координаты вектора в базисе. 44
Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов.
Деление отрезка в данном отношении. 45
Направляющие косинусы.. 47
Скалярное произведение. 48
Векторное произведение. 50
Смешанное произведение. 53
Контрольные вопросы к лекции №4. 55
Лекция 5. Прямая. 56
Основные понятия. 56
Взаимное расположение прямых. 58
Контрольные вопросы к лекции №5. 60
Лекция 6. Плоскость. 61
Основные понятия. 61
Нормальное уравнение плоскости. 63
Взаимное расположение плоскостей. 64
Контрольные вопросы к лекции №6. 65
Лекция 7. Кривые второго порядка. 66
Уравнение фигуры.. 66
Эллипс. 67
Гипербола. 72
Парабола. 75
Исследование на плоскости уравнения второй степени. 76
Контрольные вопросы к лекции №7. 78
ТЕМА 3. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.. 79
Лекция 8. Понятие евклидова пространства. 79
N-мерные векторы.. 79
Коллинеарные векторы.. 81
Размерность и базис векторного пространства. 83
Контрольные вопросы к лекции №8. 86
Лекция 9. Матрицы.. 87
Основные понятия. 87
Операции над матрицами. 88
Определитель матрицы.. 90
Ранг матрицы.. 94
Обратная матрица. 98
Контрольные вопросы к лекции №9. 100
Лекция 10. Понятие линейного оператора. 101
Переход к новому базису. 101
Линейное преобразование переменных. 102
Собственные значения и собственные вектора матриц. 103
Контрольные вопросы к лекции №10. 106
Лекция 11. Многочлены.. 107
Основные понятия. 107
Теорема о делении с остатком.. 108
Теорема Безу. 108
Контрольные вопросы к лекции №11. 112
Лекция 12. Квадратичные формы.. 113
Понятие квадратичной формы.. 113
Канонический базис квадратичной формы.. 115
Положительно и отрицательно определенные
квадратичные формы.. 120
Применение квадратичных форм к исследованию
кривых второго прядка. 123
Контрольные вопросы к лекции №12. 125
Лекция 13. Системы линейных уравнений. 126
Основные понятия. 126
Критерий совместности системы линейных уравнений. 128
Правило Крамера решения систем линейных уравнений. 128
Метод Гаусса. 130
Однородные системы уравнений. 131
Разрешенные системы линейных уравнений. 132
Контрольные вопросы к лекции №13. 135
Лекция 14. Основы линейного программирования. 136
Линейное программирование. 136
Задача линейного программирования. 138
Приведение общей задачи линейного программирования
к канонической форме. 140
Множества допустимых решений. 143
Опорное решение задачи линейного программирования,
его взаимосвязь с угловыми точками. 145
Теория двойственности. 156
Теоремы двойственности. 161
Контрольные вопросы к лекции 14. 163
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ... 164
ЛИТЕРАТУРА.. 166
ВВЕДЕНИЕ
Лекция 1. Основы математической логики
Основные понятия:
доказательное рассуждение; правдоподобное рассуждение; математическая индукция; обобщение; специализация; аналогия; логическая связка; отрицание; дизъюнкция; конъюнкция; импликация; эквиваленция.
Легкость математики основана на возможности чисто логического ее построения, трудность, отпугивающая многих, – на невозможности иного изложения.
(Хуго Штейнгаус)
Знания за пределами математики и доказательной логики состоят из предположений. Предположения, составляющие математические знания, закрепляются доказательными рассуждениями и подкрепляются правдоподобными рассуждениями. Математическое доказательство является доказательным рассуждением, косвенные улики юриста, индуктивные доводы физика, статистические доводы экономиста относятся к правдоподобным рассуждениям. Доказательное рассуждение надежно, неоспоримо, окончательно. Правдоподобное рассуждение рискованно, спорно, условно.
Доказательное рассуждение имеет жесткие стандарты, кодифицированные и выясненные логикой, являющейся теорией доказательных рассуждений. Стандарты правдоподобных рассуждений текучи и нет никакой теории таких рассуждений, которая могла бы сравниться с доказательной логикой или обладала бы сравнимой с ней согласованностью.
Доказательные рассуждения. Все новые знания о мире связаны с правдоподобными рассуждениями.
Доказательное рассуждение и правдоподобное рассуждение не противоречат друг другу; они, напротив, друг друга дополняют.
В строгом рассуждении главное – отличать доказательство от догадки, обоснованное доказательство от необоснованной попытки.
В правдоподобном рассуждении главное – отличать одну догадку от другой, более разумную догадку от менее разумной.
Часто математические утверждения касаются бесконечного множества объектов, и перебрать эти объекты невозможно. Такой перебор можно заменить следующим методом рассуждения: если данное утверждение истинно в одном случае, то оно окажется истинным и в следующем за ним случае, а значит и во всех случаях. Такой метод рассуждения называется методом математической индукции.
Обобщение есть переход от рассмотрения данного множества предметов к рассмотрению большего множества, содержащего данное. Обобщение часто делается при переходе от одного предмета к целому классу, содержащему этот предмет.
Специализация есть переход от рассмотрения данного множества предметов к рассмотрению меньшего множества, содержащегося в данном. Специализация часто производится при переходе от целого класса предметов к одному предмету, содержащемуся в этом классе.
Аналогия. Две системы аналогичны, если они согласуются в ясно определенных отношениях соответствующих частей. Это отношение имеет ясный смысл, если отношения управляются одними и теми же законами.
Далее приводятся некоторые основные факты математической логики, которую еще называют формальной логикой. Формальной потому, что она позволяет проверить правильность рассуждений независимо от их содержания. Цепочки рассуждений в совершенно разных областях математики и других наук можно одинаково описать на языке логики и убедиться в их справедливости или ошибочности.
