Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов

Под углом между векторами мы понимаем угол между векторами, равными данным и имеющим общее начало. Если нет ни каких указаний, то углом между векторами считается тот, который меньше .

Скалярным произведением двух не нулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Признак перпендикулярности векторов: скалярное произведение не нулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны

.

т.к.

Скалярное произведение может быть вычислено, если известны координаты веторов: . Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

С помощью скалярного произведения вычисляют угол между векторами .

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется право ориентированной или правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противоположном случае тройка называется левой.

Пусть даны векторы . Построим вектор , удовлетворяющий условиям:

a) ;

b) ;

c) образуют правую тройку векторов.

Вектор называется векторным произведением

векторов . .

антикоммутативность (следует из определения)

Геометрический смысл векторного произведения: - численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах .

Векторное произведение не нулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

,

т.е. векторы коллинеарны.

Смешанное произведение векторов.

Число называется смешанным произведением векторов иобозначается .

Геометрический смысл: смешанное произведение не компланарных векторов равно по модулю объему параллелепипеда построенных на этих векторах. Смешанное произведение положительно, если векторы образуют правую тройку векторов, и отрицательно, если векторы образуют левую тройку векторов.

Знак смешанного произведения совпадает со знаком . Если векторы лежат по одну сторону плоскости , то и тройка векторов – правая; если векторы лежат по разные стороны плоскости , то и ройка векторов – левая.

Смешанное произведение не нулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

При перестановке множителей в смешанном произведении абсолютная величина числа не меняется, быть может, изменится, только знак

Смешенное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат векторов.