Формула Ньютона—Лейбница

Теорема. Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а, b], а функция F(х) - любая ее первообразная (т.е. F`(х) = f(х)), то определенный интеграл от функции f(х) на [а, b] равен приращению первообразной F(х) на этом отрезке, т.е. .

Данная формула является основной формулой интегрального исчисления, и ее доказательство основано на свойствах интеграла с переменным верхним пределом.

Докажем ее. В самом деле, поскольку производная от интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу равна подынтегральной функции, можно сказать, что сам интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции.

Так как первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, можно утверждать, что найдется такое число С, что F(х) = Ф(х) + С. Тогда приращение первообразной имеет вид
F(b) – F(a) = (Ф(b) + С) - (Ф(a) + С) = Ф(b) - Ф(a) =

Теорема доказана.

Полученная формула сводит нахождение определенных интегралов к нахождению неопределенных интегралов. При этом приращение первообразной F(b) – F(a) принято обозначать .

Подчеркнем, что при применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную для подынтегральной функции, например, имеющую наиболее простой вид при С = 0 (в дальнейшем не будем записывать константу при нахождении неопределенного интеграла, поскольку будем считать ее равной нулю).

Пример 1. Найти