Олимпиадные задания по математике

8 класс /школьный тур, 2012 г./

1.Какой цифрой оканчивается значение выражения 3²⁰¹²

2. Сколько трехзначных чисел не содержат цифру 5?

3. Угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника, проведенных из вершины прямого угла, равен 12⁰. Найдите острые углы данного прямоугольного треугольника.

4 Ивану сейчас в 4 раза больше лет, чем было его сестре Маше, когда она была моложе Вани в два раза. Сколько сейчас лет Ивану и его сестре, если через 15 лет им будет вместе 100 лет?

5. В выпуклом четырехугольнике АВСД диагональ АС является биссектрисой углов А и С, диагональ ВД- биссектриса углов В и Д. Докажите, что все стороны четырехугольника АВСД равны

/Максимальный балл каждой задачи: 5 баллов./

Желаем успехов!

Решения и ответы:

1. =
81*81*81*...*81(503 раза)=...1

2. 648(трёхзначных) чисел не содержит цифру 5

3. ответ: 57

4. Пусть сестре было Y, брату было 2*Y, сейчас брату 4*Y, а сестре 3*Y

Получаем уравнение:

(4*Y+15)+(3*Y+15)=100

7*Y=70

Y=10

10*3=30(лет)- сейчас сестре

10*4=40(лет)-сейчас брату

Ответ: сейчас сестре 30, а брату 40 лет

Олимпиадные задания по математике

Класс

1.Решите уравнение: | 3х² + 5х | =2

2.На столе стоят три совершенно одинаковых ящика. В одном из них лежит два черных шара, в другом- белый и черный, в третьем- два белых шарика. На ящиках сделаны надписи: «два белых», «два черных», «»Черный и белый». Известно, что ни одна из надписей не соответствует действительности, Как, вынув только один шарик, определить, где лежат какие шары?

3.Из пункта А в пункт В автобус едет со скоростью 90 км/ ч, на обратном пути из-за плохой погоды его скорость снизилась до 60 км/ч. Найти среднюю скорость движения на всем пути следования.

4.Для нумерации страниц некоторой книги использовано 6873 цифры. Сколько страниц в книге?

/ Максимальный балл каждой задачи: 5 баллов./

Желаем успехов!

Решения и ответы:

1. 3х² + 5х =2 или 3х² + 5х =-2

3х² + 5х -2=0 3х² + 5х +2=0

Х=-2; х=1/3, х=-2, х=-3

Ответ-2;-3;1/3

2. Нужно вынуть шар из ящика "чёрный и белый". Если он оказался черным, то в ящике "черный и белый" лежали два чёрных, в ящике "два белых" лежат чёрный и белый шары, в ящике "два чёрных" лежат два белых шара. Если он оказался белым, то в ящике "черный и белый" лежат два белых шара, в ящике "два белых" лежат два черных шара, а в ящике "два чёрных" лежат черный и белый шары.