Сложение и вычитание свободных векторов

Лекция 1. Свободный вектор. Линейные операции над свободными векторами

Изучение раздела «Элементы векторной алгебры» преследует следующие цели:

- овладение векторным методом решения геометрических задач;

- подготовка к освоению координатного метода решения геометрических задач;

- знакомство с понятием векторного пространства – основой построения современных геометрических теорий.

Направленные отрезки

Рассматриваем геометрическое пространство, которое определялось аксиоматически и изучалось в школьном курсе геометрии.

О п р е д е л е н и е. Отрезок называется направленным, если указан порядок его концов. Обозначение: .

О п р е д е л е н и е. Направленные отрезки и называются сонаправленными (противоположно направленными), если лучи и сонаправлены (противоположно направлены).

О п р е д е л е н и е. Направленные отрезки и называются противоположными.

О п р е д е л е н и е. Пару совпавших точек будем называть нулевым направленным отрезком.

О п р е д е л е н и е. Длиной направленного отрезка назовем длину отрезка .

Свободный вектор

О п р е д е л е н и е. Свободным вектором называется множество всех сонаправленных отрезков одинаковой длины.

В школьном курсе геометрии вектор определяется как направленный отрезок. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Но направленный отрезок – это множество точек. Таким образом, понятие равных векторов не согласуется с понятием равных множеств. По этой причине определение вектора из школьного курса нас не совсем устраивает.

Если направленный отрезок принадлежит вектору , то говорят, что – представитель вектора . Чтобы задать свободный вектор, достаточно указать какой-либо его представитель, поэтому записывают .

Запись означает, что направленные отрезки и имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Все нулевые направленные отрезки образуют нулевой вектор .

О п р е д е л е н и е. Длиной свободного вектора (обозначение ∣ называется длина любого его представителя.

Из определения свободного вектора вытекают следующие два свойства:

(упорядоченная пара точек однозначно определяет вектор);

(от каждой точки можно отложить вектор).

У п р а ж н е н и е. Доказать свойство .

О п р е д е л е н и е. Вектор параллелен прямой , если его представители параллельны прямой или лежат на этой прямой. Нулевой вектор считается параллельным любой прямой.

О п р е д е л е н и е. Векторы и называются коллинеарными , если они параллельны одной прямой.

О п р е д е л е н и е. Коллинеарные векторы называются сонаправленными (противоположно направленными), если представители этих векторов сонаправлены (противоположно направлены): , .

Два вектора равны, тогда и только тогда, когда одно множество сонаправленных отрезков одинаковой длины и другое множество сонаправленных отрезков одинаковой длины совпадают, а значит тогда и только тогда, когда векторы сонаправлены и их длины равны.

О п р е д е л е н и е. Противоположно направленные векторы и одинаковой длины называются противоположными векторами. Записывают .

О п р е д е л е н и е. Три вектора , , называются компланарными, если их представители лежат в одной плоскости или параллельны этой плоскости.

Очевидно, что если два из трех векторов коллинеарны, то эти три вектора компланарны.

Сложение и вычитание свободных векторов

О п р е д е л е н и е. Сумма свободных векторов и определяется по «правилу треугольника»:

Отложим от точки вектор , равный вектору . От точки отложим вектор , равный вектору . Вектор назовем суммой векторов и .

У п р а ж н е н и е. Доказать теорему о независимости суммы свободных векторов от выбора начальной точки .

Из определения суммы векторов следует свойство:

(аксиома треугольника).

У п р а ж н е н и е.Доказать законы сложения векторов:

1. (переместительный закон или коммутативность);

2. (сочетательный закон или ассоциативность);

3. ;

4. .

О п р е д е л е н и е. Разностью свободных векторов и называется такой вектор , что .

Прибавив к обеим частям равенства вектор , получим . Таким образом, чтобы вычесть из вектора вектор , нужно к прибавить вектор, противоположный вектору .

Полезно запомнить, что если два вектора отложены от одной точки, то вектор, соединяющий их концы, является разностью этих векторов. Причем из того вектора, где сходятся две стрелочки, вычитают второй вектор: .