2015-10-22
801
О п р е д е л е н и е. Скалярным произведением векторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними: 
.
О п р е д е л е н и е. Векторы, скалярное произведение которых равно нулю называются ортогональными.
Для обозначения ортогональности векторов используют знак 
.
Очевидны свойства скалярного умножения свободных векторов:
1. 
(скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины);
2. 
;
3. 
.
У п р а ж н е н и е. Используя свойства скалярного умножения и свойства скалярных проекций доказать законы скалярного умножения:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Базис 
, состоящий из единичных, попарно ортогональных векторов, называется ортонормированным базисом.
У п р а ж н е н и е. Используя законы скалярного умножения, вывести формулы вычисления скалярного произведения векторов и длины вектора через координаты в ортонормированном базисе:
; 
.
Основные приложения скалярного умножения векторов:
1. 
– длина вектора равна корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора;
2. 
;
3. Угол между векторами 
и 
острый тогда и только тогда, когда 
,тупой тогда и только тогда, когда 
. Векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда 
.
4. 
.
