Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Относительно аффинной системы координат прямые и задаются уравнениями

Для каждой прямой можно найти точку, принадлежащую этой прямой, и направляющий вектор

, если ;

, если

1.

Прямые совпадают тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты и свободные члены пропорциональны.

2. .

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам.

3.

Прямые пересекаются в точке тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты не пропорциональны.

Угол между прямыми

Углом между прямыми и называется величина того из четырех вертикальных углов, образованных этими прямыми, который не превосходит остальные углы. Таким образом, угол между прямыми может принимать значения от 0 до .

Иногда удобно угол между прямыми считать направленным. Угол между прямыми и , заданными в указанном порядке, будем считать положительным, если поворот от к по этому углу совершается против часовой стрелки. В противном случае угол будем считать отрицательным.

Пусть на плоскости относительно прямоугольной системы координат прямые и задаются уравнениями

Тогда , .

Угол между прямыми и равен тогда и только тогда, когда направляющие векторы прямых ортогональны и, следовательно, .

Если угол между прямыми отличен от , то он однозначно определяется по значению его тангенса.

Заметим, что тангенс направленного угла между прямыми равен тангенсу направленного угла между направляющими векторами этих прямых: .

Как вычислить тангенс направленного угла между векторами и ?

Пусть и направленные углы между вектором и направляющими векторами прямых. Для направленного угла между векторами и имеем .

Для вычисления найдем и :

.

.

Таким образом, .

Возможны случаи

а) не параллельны оси )

, где и – угловые коэффициенты прямых и .

б) , ( параллельна, а не параллельна оси ).

.

в) ( параллельна, а не параллельна оси ).

.

г) , (прямые параллельны оси ).