Геометрический смысл знака трехчлена прямой

Каждая прямая плоскости разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от данной прямой. Любые две точки, принадлежащие различным полуплоскостям, лежат по разные стороны от прямой. Как аналитически, то есть по уравнению прямой и координатам точек определить, лежат эти точки в одной или в разных полуплоскостях относительно данной прямой?

Относительно аффинной системы координат прямая задана уравнением , где .

Обозначим – трехчлен прямой.

Для точек и , не лежащих на прямой , будем иметь .

Точки и лежат по разные стороны от прямой тогда и только тогда, когда отрезок пересекает прямую в некоторой точке .

Так как точка лежит между и , то и , .

Точка лежит на прямой , поэтому . Отсюда получаем и , а значит и разных знаков.

Таким образом, две точки и лежат по разные стороны от прямой тогда и только тогда, когда значения трехчлена прямой для координат этих точек и разных знаков.

Имеем геометрический смысл знака трехчлена:

Каждое из неравенств определяет полуплоскость с границей .