Тригонометрическая форма комплексного числа

Для изображения действительных чисел используются точки на числовой прямой. Комплексным числам соответствуют точки на координатной плоскости. Числу соответствует точка с координатами .

Каждой точке на плоскости ставится в соответствие радиус–вектор .

Определение 1.4. Длину радиус–вектора называют модулем комплексного числа .

Угол между радиус-вектором и положительным направлением оси называют аргументом комплексного числа (рис.1.1.).

Модуль комплексного числа обозначают , аргумент − . Аргумент комплексного числа определён с точностью до , . Из определения следует, что , , и , т. е., , тогда .

Определение 1.5. Выражение вида называется тригонометрической формой комплексного числа.

Формулы Муавра

;

, где .

1.1. Выполнить действия, ответ записать в алгебраической форме:

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. , , , .	12. , , , .

1.2. Решить уравнения и проверить подстановкой корней в уравнение:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

1.3. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

1. 1.	8. –1.	15. .
2. 5.	9. .	16. .
3. –2.	10. .	17. .
4. .	11. .	18.
5.	12. .	19. .
6. .	13. .	20. .
7. .	14. .	21. .

1.4. Вычислить:

1. .	4. .	7. .
2. .	5. .	8. .
3. .	6. .	9. .

1.5. Найти все значения корней:

1. .	4. .	7. .
2. .	5. .	8. .
3. .	6.	9. .

1.6. 1) Доказать, что сумма и произведение взаимно сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

2) Доказать равенства:

1. .

2. .

3. ..

4. .

1.7. Найти формулы для вычисления степеней числа i.

1.8. Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1.9. Как расположены на комплексной плоскости: 1) сопряженные числа; 2) противоположные числа; 3) корни n -ой степени?

1.10 Решить уравнения:

1. .	3. .	5. .
2. .	4. .

1.11. Решить уравнения:

1. ;

2. ;

3. .

1.12. Где находится точка z комплексной плоскости, если точка принадлежит мнимой оси?

1.13. Найти действительные корни уравнения .

КОМБИНАТОРИКА

Пусть дано множество (все элементы различны). Обозначим произведение натуральных чисел («эн факториал»). По определению .

Определение 1.8. Перестановкой из элементов называется любое упорядоченное множество из этих элементов.

Пример 1.3. Пусть . Найти все перестановки.

Решение. . Их количество .

Теорема 1.1. Число перестановок из элементов равно

Число перестановок обозначают . Итак, .

Пример 1.4. Сколькими способами можно разместить 5 гостей

1) в ряд;

2) за круглым столом.

Решение.

1) .

2) Зафиксируем одного гостя. Остальных упорядочим относительно выбранного .

Определение 1.9. Размещением из элементов по элементов называются перестановки по элементов, взятые из множества в элементов. Обозначение числа размещений .

Теорема 1.2. Число размещений .

Пример 1.5. Найти все размещения по 2 элемента из множества .

Решение. . Их количество

Пример 1.6. Сколько четырёхбуквенных слов можно составить из 7 различных букв.

Решение.

Определение 1.10. Сочетанием из элементов по элементов называется любое неупорядоченное подмножество из элементов множества в элементов.

Число сочетаний обозначается .

Пример 1.7. Дано . Найти все сочетания по 2 элемента.

Решение. ; . Порядок элементов нам не важен.

Теорема 1.3. Число сочетаний

Пример 1.8. Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из группы в 30 человек?

Решение. .

1.14. Найдите: 1) 0!; 2) 5!; 3) 7!; 4) ;5) .

1.15. Сократите дробь: 1) ; 2) .

1.16. Решить уравнение: .

1.17. Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

1.18. Докажите, что .

1.19. Докажите равенство: ; 2. .

1.20. Докажите, что .

1.21. В некотором царстве все люди отличаются набором зубов. Каково население этого царства?

БИНОМ НЬЮТОНА

Если и – числа, а , то

. (1)

Следствие 1.1. , где – называют биномиальными коэффициентами.

Пример 1.9. Найти сумму биномиальных коэффициентов.

Решение. Положим в (1) , , тогда .

Сумма биномиальных коэффициентов равна .

Биноминальные коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля

1.22. Разложите по биному:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. .

1.23. Найдите: 1) пятое; 2) 10; 3) 15; 4) 16 слагаемое в разложении .

1.24. Докажите, что

1) ;

2) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

1.25. Пользуясь формулой Муавра и биномом Ньютона, выразить через степени и следующие функции кратных углов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .