Минор и алгебраическое дополнение. Вычисление определителей

Определение

Минором элемента определителя

называется определитель, который получается из исходного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых данный элемент расположен.

Пример. Минор элемента :

=

Определение

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется выражение вида: = , где минор элемента .

Пример. Алгебраическое дополнение элемента :

= =

Утверждение. (Вычисление определителя)

Вычисление определителя может осуществляться путем разложения его по любой строке (столбцу) следующим образом,

по строке: = + + , ( =1,2,3);

по столбцу: = + + , ( =1,2,3).

Пример. Разложение определителя по первой строке

= + + ;

= = ;

= = ;

= = ;

= .

Пример. Вычисление определителя путем разложения по первой строке

= = ;

Аналогично данный определитель можно разложить по любой другой строке (столбцу).

Пример. Определитель ступенчатой матрицы

= = .

Утверждение Определитель ступенчатой матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Пример. Вычисление определителя путем приведения его к ступенчатому виду

В силу свойства №5, имеем:

= = ;

Определитель не изменится, если к одной из его строк прибавить другую строку, умноженную на константу (см. утверждение 3), поэтому:

= = = ;

= = = ;

= = = ;

= ;