Определение и основные свойства предела последовательности

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется член последовательности такой, что все члены последовательности , следующие за ним, отстоят от меньше, чем на .

Определение. Число называется пределом последовательности , если в любом открытом промежутке, содержащем число , содержатся все члены
последовательности , начиная с некоторого.

Теорема (о единственности предела). Если — предел последовательности и — предел последовательности , то .

Доказательство. Предположим, что . Возьмем . Найдется такой номер , что

также существует

Возьмем , которое больше и . Тогда

Обозначение. есть предел :

— стремится (сходится) к ,

Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Определение. Последовательность называется строго возрастающей (возрастающей) [ строго убывающей ] убывающей , если каждый ее член, начиная со второго, больше (не меньше) [меньше] не больше предыдущего члена.

Последовательности (строго) возрастающая и (строго) убывающая называются (строго) монотонными.

Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует .

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть — предел последовательности . Тогда найдется такой номер , что

Тогда .

Замечание. Тем самым, мы доказали ограниченность последовательности , поскольку, выбрав , получим .

Определение. Говорят, что последовательность отделена от нуля, если найдется такое положительное число , что все члены этой последовательности по модулю больше .

Теорема (о предельном переходе в неравенствах). Пусть и — последовательности, причем . Пусть , . Тогда .

Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно, т.е. . Рассмотрим промежутки

Возьмем . Тогда

Получили противоречие, т.к.

Замечание. Если в условии теоремы заменить неравенство на , то все равно можно утверждать лишь то, что . Действительно,

Теорема (принцип сжатой последовательности, теорема о двух милиционерах). Пусть даны последовательности и существует : . Известно, что . Тогда .

Доказательство. Возьмем произвольный промежуток .

Обозначим . Тогда

Значит, .

Замечание. Принцип сжатой последовательности является теоремой существования и не следует из теоремы о предельном переходе в неравенствах.

Определение. Говорят, что , если

Последовательность при этом называется бесконечно большой;

, если

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если .

Задачи.

1) Выясните, являются ли последовательности монотонными

1.
2.

2) Выясните, являются ли последовательности ограниченными

1.
2.

3) Последовательность ограничена, а последовательность неограничена. Выясните, какие из следующих последовательностей обязательно неограниченные, а какие могут быть неограниченными:

1.
2.
3.