Определение предела числовой последовательности

Одним из важнейших понятий математического анализа является понятие предела. Начнем его изучение с предела последовательности действительных чисел. Напомним (см. п. 4.6*, пример 5), что последовательностью { x_n } элементов некоторого множества X называется отображение множества натуральных чисел в это множество X. Образ при этом отображении натурального числа n (член последовательности с номером n) в множестве X обозначается через x_n. В частности, последовательностью действительных чисел является "занумерованное" натуральными числами некоторое множество x ₁, x ₂,..., x_n,... действительных чисел, причем члены последовательности с разными номерами могут иметь одно и то же значение. Примерами последовательностей являются 1, 1/2, 1/3,..., 1/ n,... и 1, 1, 1,..., 1,... В дальнейшем в этом параграфе буквой n всегда обозначаются натуральные числа.
Под бесконечно удаленной точкой числовой прямой будем понимать одну из бесконечностей + , - или (см. п. 2.2).

Определение 1. Конечная или бесконечно удаленная точка числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел, если какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.
Этот номер зависит, вообще говоря, от выбора окрестности точки a. Сформулированное условие равносильно тому, что вне любой окрестности точки a находится лишь конечное число членов рассматриваемой последовательности. Вспомнив, что окрестности конечных и бесконечно удаленных точек числовой прямой определяются заданием некоторого числа > 0 (п. 2.2), определение предела последовательности действительных чисел можно перефразировать следующим образом.
Точка a (конечная или бесконечно удаленнная) числовой прямой называется пределом последовательности { x_n } действительных чисел, если для любого > 0 существует такой номер , что для всех номеров n > члены x_n содержатся в окрестности U (a; ):

xn U (a; ), n > .

(5.1)

Если выполняется это условие, то пишут = a или x_n a при n (а иногда пишут x_n a, n = 1, 2,...) и говорят, что члены последовательности { x_n } стремятся к a.
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела записывается следующим образом:

> 0 : n > xn U (a; ).

(5.2)

Если предел последовательности действительных чисел является конечной точкой числовой прямой, т. е. числом, то говорят, что последовательность имеет конечный предел.

Определение 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся. Для случая конечного предела определение 1 предела можно перефразировать следующим образом. Число a является пределом последовательности { x_n } действительных чисел, если для любого > 0 существует такой номер , что для всех номеров n > выполняется неравенство

|xn - a| < .

(5.3)

В логических символах эта формулировка выглядит следующим образом:

> 0 n > : |xn - a| < .

(5.4)

Очевидно, что неравенство (5.3) равносильно неравенству

a - < xn < a + .

(5.5)

Аналогичным образом формулируются и определения предела числовой последовательности в случае, когда этот предел является той или иной бесконечно удаленной точкой (или, как говорят, равен бесконечности).
Например, согласно определению (5.2) является пределом последовательности { x_n }, если для любого
> 0 существует такой номер , что для всех номеров n > выполняется включение

xn U (; ).

(5.6)

или, что то же самое, неравенство

| xn | > 1/

(5.7)

В логических символах это утверждение записывается следующим образом:

= > 0 n > : |xn| > 1/ .

(5.8)

Аналогичным образом определение предела последовательности перефразируется для случая, когда этот предел равен бесконечности со знаком. Для краткости ограничимся записью этих определений только с помощью логических символов:

= + > 0 n > : x_n> 1/ ,
= - > 0 n > : x_n< -1/ .

Заметим, что если - произвольное положительное число, то и 1/ - также произвольное положительное число. Очевидно, что если = + или = - , то и = .

Определение 3. Последовательность, пределом которой является бесконечность (со знаком или без знака), называется бесконечно большой.
Примеры.
1. Последовательность x_n = 1/ n, n = 1, 2,..., сходится и имеет своим пределом нуль. Действительно, каково бы ни было > 0, согласно принципу Архимеда существует натуральное , большее, чем 1/ , т. е. > 1/ и, следовательно, 1/ < , а тогда для всех натуральных n > имеет место неравенство

0 < 1/ n < 1/ < .

Таким образом, при n > выполняется условие

|1/ n - 0| = 1/ n < ,

а это и означает, что (1/n) = 0.
2. Последовательность x_n = (-1) ⁿ, n = 1, 2,..., не имеет предела, так как какое бы число a ни взять, вне любой его -окрестности при < 1 будет находиться бесконечно много членов указанной
последовательности.
3. Последовательность x_n = n ², n = 1, 2,..., бесконечно большая и n ² = + . В самом деле, согласно принципу Архимеда для любого > 0 существует такое натуральное число , что > 1/ . Для любого же номера n > 1, очевидно, имеет место неравенство n ² > n, поэтому при n > выполняется условие

n ² > n > > 1/ ,

т. е. если n > , то n ² > 1/ , а это и означает, что n ² = + .
4. Докажем, что если a > 1, то

an = + , (1/ an) = 0.

(5.9)

В самом деле, положим = a - 1; тогда > 0 и по формуле бинома Ньютона

an = (1 + ) n = 1 + n + n (n - 1) 2/2 +... + n > n .

(5.10)

Для любого > 0 существует такое n ₀, что n ₀ >1/ . Поэтому
для всех n > n ₀ имеем

an	> n > n 0 > 1/	(5.11)
	(5.10)

и

1/ an <

(5.12)

А это по определению предела и означает справедливость равенств (5.9).
Определение предела числовой последовательности обобщается на последовательности точек расширенной числовой прямой , т. е. числовой прямой, дополненной отрицательной (- ) и положительной (+ ) бесконечностями (п. 2.2). По форме оно полностью совпадает с определением 1.

Определение 4. Точка a расширенной числовой прямой называется пределом последовательности точек этой прямой, если какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.
Отличие от вышерассмотренного случая состоит в том, что здесь членами последовательности могут быть не только действительные числа, но и бесконечности со знаками.
Конечно, понятие предела можно обобщить и на случай последовательности точек прямой, расширенной с помощью только одной бесконечно удаленной точки - бесконечности без знака, однако в дальнейшем у нас такие последовательности не будут встречаться.