Вычисление ранга методом элементарных преобразований

Подробно это метод описан в соответствующей теме. Мы станем вычислять ранг матрицы A ˜. Почему именно матрицы A ˜, а не A? Дело в том, что матрица A является частью матрицы A ˜, поэтому вычисляя ранг матрицы A ˜ мы одновременно найдем и ранг матрицы A.

A ˜ =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ −3−14 92−2 −7−419 179−42 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ →∣ ∣ меняем местами первую и вторую строки∣ ∣ →→⎛ ⎝ ⎜ ⎜ −1−34 29−2 −4−719 917−42 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 0II−3⋅IIII+4⋅I →⎛ ⎝ ⎜ ⎜ −100 236 −453 9−10−6 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 00III−2⋅II →⎛ ⎝ ⎜ ⎜ −100 230 −45−7 9−1014 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟

Мы привели матрицу A ˜ к трапециевидной форме. На главной дагонали полученной матрицы ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ −100 230 −45−7 9−1014 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ расположены три ненулевых элемента: -1, 3 и -7. Вывод: ранг матрицы A ˜ равен 3, т.е. rangA ˜ =3. Делая преобразования с элементами матрицы A ˜ мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы A, расположенные до черты. Матрица A также приведена к трапециевидной форме: ⎛ ⎝ ⎜ −100 230 −45−7 ⎞ ⎠ ⎟. Вывод: ранг матрицы A также равен 3, т.е. rangA=3.

Так как rangA=rangA ˜, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение. Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: x 1, x 2 и x 3. Так как количество неизвестных n=3, то делаем вывод: rangA=rangA ˜ =n, поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rangA=rangA ˜.

Напомню, что система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если rangA=rangA ˜, то решение есть; если rangA≠rangA ˜, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква n, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

1. Если rangA≠rangA ˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).

2. Если rangA=rangA ˜ <n, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

3. Если rangA=rangA ˜ =n, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.