Формулировка теоремы о базисном миноре

Теорема

Столбцы матрицы , входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы линейно выражается через остальные столбцы из базисного минора.

В матрице размеров минор -го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры -ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Следствие. Если все столбцы матрицы линейно выражаются через столбцов , которые образуют линейно независимую систему, то ранг матрицы .

Определение. Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, называются базисными строками и столбцами.

Определение. Система столбцов называется линейно зависимой числа , не все равные нулю и такие что:

Теорема о базисном миноре. Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ.

Доказательство. Предположим противное - система длинных столбцов линейно зависима система коротких столбцов (входящих в длинные) линейно зависима ( по свойству определителя

БМ Противоречие, т.к. БМ .

Без ограничения общности считаем, что базисный минор расположен в левом верхнем углу. Покажем, что -ый столбец линейно выражается через столбцы из БМ. (иначе он сам является столбцом из БМ). Рассмотрим минор порядка на один больше, он будет нулевой.

Фиксируем . Раскладываем определитель по -ой строке:

так как минор порядка - нулевой (где - БМ . Выражаем : Получены коэффициенты . Для любого : (так как - любое.

Следствие. Если все столбцы матрицы А линейно выражаются через r столбцов , которые образуют линейно независимую систему, то .

Доказательство. Столбцы входящие в максимальную линейно независимую систему (в кол-ве штук) линейно выражаются через . столбцы (в кол-ве r штук) линейно выражаются через максимальную линейно независимую систему в кол-ве .

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

Доказательство. Пусть - столбцы, не входящие в БМ и они - максимальная линейно независимая система. ранг системы столбцов (число столбцов входящих в максимальную линейно независимую систему) по утверждению 1 (если система линейно независима (количество ) и выражается через другую (количество ) то ) . по утверждению 1 и утверждению 2 (все максимальные линейно независимые системы состоят из одного и тогоже числа столбцов) и в силу того, что все столбцы линейно выражаются через столбцы максимальной линейно независимой системы

Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы кроме a 11, a 22,..., a rr (r ≤min(m, n)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен r.