Смешанное произведение векторов

Лекция№6

Рассмотрим произведение векторов , и , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения .

Теорема. Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Доказательство.. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , , и вектор .

Имеем: , , где - площадь параллелограмма, построенного на векторах и , для правой тройки векторов и для левой, где - высота параллелепипеда. Получаем: , т.е. , где - объем параллелепипеда, образованного векторами , и .