2015-10-22
178
Лекция№6
Рассмотрим произведение векторов 
, 
и 
, составленное следующим образом: 
. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.
Выясним геометрический смысл выражения .
Теорема. Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.
Доказательство.. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы , , и вектор 
.
Имеем: 
, 
, где 
- площадь параллелограмма, построенного на векторах и , 
для правой тройки векторов и 
для левой, где 
- высота параллелепипеда. Получаем: 
, т.е. 
, где 
- объем параллелепипеда, образованного векторами , и .
