Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x, y, z удовлетворяют уравнению
Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию .
Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.
называют квадратичной формой. Матрицу
,
где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор , удовлетворяющий условию называют собственным вектором матрицы А, - собственным значением.
Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:
.
Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.
|
|
Преобразование уравнения линии второго порядка проводят аналогично. Рассмотрим пример.
Пример 24. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и сделать чертёж:
17x2 +8y2 +12xy +10x – 8y + 5 = 0.
Решение.
Составим матрицу квадратичной формы:
.
Найдем собственные векторы линейного преобразования из условия:
.
Полученная система однородная. Она имеет ненулевые решения, если определитель системы равен нулю:
,
Отсюда находим: .
Найдём собственные векторы.
При получим систему уравнений:
Полагая , найдём .
Получим первый собственный вектор .
При получим систему уравнений:
Откуда , .
Получим второй собственный вектор .
Найдём орты собственных векторов.
,
Запишем матрицу преобразования:
Формулы линейного преобразования примут вид:
или .
Подставим значения и в уравнение кривой:
или
Выделяя полные квадраты, получим:
.
Введём новые координаты:
Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 5 обе части уравнения, получим каноническое уравнение:
Это уравнение описывает эллипс, полуоси которого .
Построим эллипс по полученному уравнению.
у |
у / |
у // |
х |
х / |
х // |
О |