Две плоскости, если они не параллельны и не совпадают, пересекаются по прямой. Эту прямую можно описать системой уравнений вида:
, (14.1)
где - уравнение одной из пересекающихся плоскостей, - уравнение другой плоскости. Систему двух уравнений с тремя неизвестными называют общим уравнением прямой в пространстве. Известно, что система двух линейных уравнений с тремя неизвестными имеет множество решений, если она совместна. Из всего множества решений всегда можно выделить два различных, что геометрически будет соответствовать двум различным точкам М1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), принадлежащим данной прямой. Через две точки проходит единственная прямая, уравнение которой имеет вид:
. (14.2)
Определим вектор , параллельный данной прямой, который будем называть направляющим вектором. Вектор - вектор, расположенный на прямой, где М(x0,y0,z0) – точка, принадлежащая прямой. Тогда из условия коллинеарности векторов получим:
. (14.3)
Полученные уравнения называют каноническими уравнениями прямой в пространстве. Обозначая коэффициент пропорциональности в канонических уравнениях прямой через t, получим:
. (14.4)
Полученную систему называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Углом между двумя прямыми называют угол между их направляющими векторами. Если прямые заданы каноническими уравнениями и ,
то угол φ между ними определяется по формуле:
.
Если , то прямые перпендикулярны.
Если , то прямые параллельны.
Необходимым и достаточным условием принадлежности двух прямых, заданных каноническими уравнениями, одной плоскости, служит равенство:
.
Если прямая пересекает плоскость Ax + By + Cz + D = 0, то угол , образованный прямой и плоскостью, определяют из равенства: .
- условие параллельности прямой и плоскости;
- условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Если , то прямая пересекает плоскость Ax + By + Cz + D = 0. Точку пересечения прямой и плоскости можно определить из системы:
Условия принадлежности прямой плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеют вид:
Расстояние d от точки М1(x1, y1, z1) до прямой, заданной каноническими уравнениями , находится по формуле:
.
Расстояние h между двумя скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяют по формуле:
, где - точка, принадлежащая первой прямой, - точка, принадлежащая второй прямой.
Пример 22. Даны вершины треугольника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3) и
С(5; 1; -7). Составить параметрические уравнения высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.
Решение.
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку В, перпендикулярно стороне АС, Нормальный вектор этой плоскости . Уравнение плоскости , или .
Запишем уравнение прямой АС:
, или в параметрическом виде:
Найдем точку пересечения М прямой АС и плоскости, перпендикулярной этой прямой, то есть основание высоты:
Подставим x, y, z в первое уравнение:
Найдем направляющий вектор высоты ВМ:
.
Возьмем вектор, коллинеарный вектору :
Параметрические уравнения высоты ВМ имеют вид:
Пример 23. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку и пересекает прямые и .
Решение. Запишем уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М(-4; -5; 3). Точка М1(-1; -3; 2) - принадлежит прямой и плоскости. Вектор =(3; 2; -1) так же принадлежит этой плоскости. За нормальный вектор плоскости возьмем вектор , равный векторному произведению вектора и вектора :
.
Уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку М(-4; -5; 3) имеет вид: 4(х + 4)+12(z – 3)= 0, или х + 3z – 5 = 0.
Найдем точку К пересечения плоскости х + 3z – 5 = 0 и прямой
:
Решим систему: откуда .
Прямая, проходящая через точки М(-4; -5; 3) и К(2; -1; 1) будет искомой. Уравнения этой прямой имеют вид:
или .