Расчетно– графическая работа

“Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии ”

Задача 1. Векторы , , , заданы координаты в декартовом базисе { , , }.

Требуется:

1) доказать, что векторы , , образуют базис в пространстве;

2) записать разложение вектора по базису

{ , , } и составить систему соотношений

для декартовых координат;

3) найти координаты вектора в базисе { , }.

1.1 =(1,3,4), =(2,2,3), =(1,1,-2), =(8,10,4).

1.2 =(1,2,3), =(-1,3,2), =(7,-3,5), =(6,10,17).

1.3 =(2,1,4), =(-3,5,1), =(1,-4,-3), =(2,-5,4).

1.4 =(5,1,4), =(-1,2,3), =(-1,3,2), =(0,14,16).

1.5 =(4,7,3), =(9,1,3), =(2,-4,1), =(1,-13,-13).

1.6 =(1,3,2), =(3,2,5), =(-6,5,-3), =(12,-10,6).

1.7 =(8,2,3), =(4,6,10), =(3,-2,1), =(7,4,11).

1.8 =(2,1,3), =(-4,-2,1), =(3,4,5), =(1,3,2).

1.9 =(10,3,1), =(1,4,2), =(3,9,2), =(19,30,7).

1.10 =(2,4,1), =(1,3,6), =(5,3,1), =(24,20,6).

1.11 =(1,2,1), =(2,-1,3), =(3,-8,4), =(5,1,6).

1.12 =(1,7,3), =(3,4,2), =(4,8,5), =(7,32,14).

1.13 =(2,3,1), =(-1,2,-1), =(1,2,1), =(2,2,1).

1.14 =(1,-2,3), =(4,7,2), =(6,4,2), =(14,18,6).

1.15 =(1,4,3), =(6,8,5), =(5,1,4), =(21,18,33).

1.16 =(1,2,3), =(2,-1,1), =(-3,4,1), =(0,5,2).

1.17 =(3,2,4), =(2,4,-3), =(-4,-5,2), =(8,11,1).

1.18 =(2,1,1), =(-4,-5,-1), =(1,3,1), =(3,-1,1).

1.19 =(2,7,3), =(3,1,8), =(2,-7,4), =(16,14,27).

1.20 =(3,5,1), =(-4,-3,-2), =(4,4,2), =(7,11,3).

1.21 =(2,3,2), =(-3,-2,-3), =(4,6,-5), =(-4,-1,-13).

1.22 =(7,2,1), =(4,3,5), =(3,4,-2), =(2,-5,-13).

1.23 =(3,-2,1), =(-1,1,-2), =(2,1,-3), =(11,-6,5).

1.24 =(3,2,2), =(-5,-3,1), =(8,5,7), =(6,4,10).

1.25 =(0,1,1), =(1,-1,-3), =(2,-1,4), =(5,2,1).

Задача 2. В пирамиде даны декартовы координаты точек вершин (, , ) в фиксированной декартовой системе координат.

Требуется:

1) изобразить на графике декартову систему координат, отметить точки , , , в соответствии с их координатами, соединить полученные точки отрезками;

2) найти координаты векторов , , ;

3) определить длины ребер , , ;

4) найти угол между ребрами и ;

5) определить координаты вектора нормали к плоскости грани ;

6) вычислить площадь грани средствами векторной алгебры;

7) вычислить объем пирамиды средствами векторной алгебры;

8) найти уравнение прямой, проходящей через ребро ;

9) найти уравнение прямой, перпендикулярной плоскости грани и проходящей через вершину ;

10) определить уравнение плоскости, проходящей через грань ;

11) вычислить угол между ребром и гранью средствами векторной алгебры.

2.1. =(2,1,-4), (1,-2,3), (1,-2,-3), (5,-2,-1).

2.2. =(2,-1,3), (5,1,1), (0,3,4), (-1,-3,4).

2.3. =(4,2,5), (0,7,2), (0,2,7), (1,5,0).

2.4. =(5,3,2), (1,-8,8), (4,-1,2), (1,4,-1).

2.5. =(4,4,10), (4,10,2), (2,8,4), (9,6,9).

2.6. =(-2,3,4), (4,2,-1), (2,-1,4), (-1,-1,1).

2.7. =(4,-4,0), (-5,3,2), (8,0,1), (2,2,3).

2.8. =(4,6,5), (6,9,4), (2,10,10), (7,3,9).

2.9. =(3,5,4), (8,7,4), (5,10,4), (4,7,8).

2.10. =(-3,-4,0), (0,-1,3), (-6,4,2), (-3,0,3).

2.11. =(0,4,-4), (5,1,-1), (-1,-1,3), (0,-3,7).

2.12. =(10,6,6), (-2,8,2), (6,8,9), (7,10,3).

2. 13. =(0,-6,3), (3,3,-3), (-3,-5,2), (-1,-4,0).

2.14. =(2,-1,-3), (0,0,0), (5,-1,-1,), (-1,-1,1).

2.15. =(1,8,2), (5,2,6), (5,7,4), (4,10,9).

2.16. =(7,5,8), (-2,1,4), (3,-2,-3), (1,-1,0).

2.17. (6,6,5), (4,9,5), (4,6,4), (6,9,3).

2.18. (2,-1,-1), (1,3,-1), (1,1,4), (1,3,3).

2.19. (7,2,2), (5,7,7), (5,3,1), (2,3,7).

2.20. (2,2,2), (4,3,3), (4,5,4), (5,5,5).

2.21. =(8,6,4), (10,5,5), (5,6,8), (8,10,7).

2.22. =(2,2,2), (4,0,3), (0,0,0), (1,1,3).

2.23. =(7,7,3), (6,5,8), (3,5,8), (8,4,1).

2.24. =(1,-1,1), (1,1,1), (2,3,4), (0,0,5).

2.25. =(0,0,1), (2,3,5), (6,2,3), (3,7,2).

Задача 3. В следующих задачах условия сформулированы в фиксированной декартовой системе координат на плоскости. Требуется:

1) найти уравнение кривой на плоскости, используя заданные в условии соотношения для ее произвольной точки М(x,y);

2) привести полученное общее уравнение кривой к каноническому виду;

3) указать тип кривой по ее каноническому уравнению.

3.1. Расстояние от каждой точки кривой до точки

А(-1,0) вдвое меньше расстояния до прямой х=-4.

3.2. Расстояние от каждой точки кривой до прямой х+2=0 равно расстоянию до точки А=(7,3).

3.3. Расстояние от каждой точки кривой до точки А=(2,0) и до прямой 5х+8=0 относятся как 5:4.

3.4. Расстояние от каждой точки кривой до точки А(5,1) вдвое больше, чем расстояние до точки В(-3,2).

3.5. Каждая точка кривой равноудалена от точек А=(3,-3) и В=(1,5).

3.6. Каждая точка кривой находится вдвое дольше от точки А(4,0), чем от точки В(1,0).

3.7. для каждой точки кривой разность квадратов расстояний до точки А(0,3) и до точки В(0,-3) равна 24.

3.8. Расстояния от каждой точки кривой до точки А=(2,0) и до прямой 2х+5=0 относятся как 4:5.

3.9. Расстояние от каждой точки кривой до точки А=(3,0) вдвое меньше расстояния до точки В=(26,0).

3.10. Расстояния от каждой точки кривой до точек А=(-8,0) и В=(-2,0) относятся как 2:1.

3.11. Каждая точка кривой одинаково удалена от точки А=(0,2) и от прямой у-4=0.

3.12. Каждая точка кривой равноудалена от точек А=(3,2) и

В=(-4,0).

3.13. Для каждой точки кривой сумма квадратов расстояний до точек А=(-3,3) и В=(7,5) равна 84.

3.14. Для каждой точки кривой сумма расстояний до двух данных точек А=(0,4) и В=(0,-4) равна 10.

3.15. Каждая точка кривой равноудалена от точки А=(2,6) и от прямой у+2=0.

3.16. Для каждой точки кривой отношение расстояния до точки А=(4,0) к расстоянию до прямой 4у-25=0 равно 0,8.

3.17. Каждая точка кривой равноудалена от точки А(4,2) и от оси ОУ.

3.18. Каждая точка кривой отстоит от точки А=(-4,0) втрое дальше, чем от начала координат.

3.19. Каждая точка кривой находится в 1,25 раза дольше от точки А=(5,0), чем от прямой 5х-16=0.

3.20. Каждая точка кривой находится втрое ближе к точке А=(1,1), чем к точке В=(1,-3).

3.21. Каждая точка кривой расположена в два раза ближе к прямой х=2,5, чем к точке А=(10,0).

3.22. Расстояния от каждой точки кривой до начала координат и до точки А=(5,0) относятся как 2:1.

3.23. Для каждой точки кривой сумма квадратов расстояний до точек А=(1,1) и В=(-3,3) равна 13.

3.24. Для каждой точки кривой отношение расстояний до точек А=(-1,1) и В=(0,2) равно 0,4.

3.25. Каждая точка кривой равноудалена от точки А=(-2,3) и от оси Ох.

Задача 4. Кривая на плоскости задана своим уравнением в полярной системе координат: r =r().

Требуется:

1) построить график кривой в полярной системе координат по точкам, разбив полный оборот от =0 до =2 на промежутке длины , то есть =()i, 0 i 15, = (), =(, );

2) найти уравнение этой кривой в декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а ось ОХ- с полярной осью полярной системы координат;

3) полученное уравнение привести к каноническому виду и указать тип кривой.

4.1. r=1/(1+cos ). 4.2. r=1/(1+sin ).

4.3. r=8/(3-cos ). 4.4. r=8/(3-sin ).

4.5. r=1/(2+cos ). 4.6. r=1/(2+sin ).

4.7. r=4/(2-3cos ). 4.8. r=4/(2-3sin ).

4.9. r=1/(2+2cos ). 4.10. r=1/(2+2sin ).

4.11. r=5/(3-4cos ). 4.12. r=5/(3-4sin ).

4.13. r=3/(1-2cos ). 4.14. r=3/(1-2sin ).

4.15. r=10/(2-cos ). 4.16. r=10/(2-sin ).

4.17. r=1/(3-3cos ). 4.18. r=1/(3-3sin ).

4.19. r=5/(6+3cos ). 4.20. r=5/(6+3sin ).

4.21. r=2/(1+2cos ). 4.22. r=2/(1+2sin ).