Устойчивость сжатых стержней

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.

Задача 8

Условие задачи. На стальной вал установлены: зубчатое колесо диаметром D₁ и шкив ременной передачи диаметром D₂ (рис.21).

Требуется:

1) построить эпюры крутящих и изгибающих моментов. Принять F₁ = 2F₂.

2) определить диаметры вала d, используя четвертую теорию прочности (теория удельной потенциальной энергии изменения формы). Принять коэффициент запаса прочности равным 5.

Полученные значения диаметров d округлить до ближайших стандартных значений, которые приведены в табл.7. Диаметры участков вала под подшипники качения принять кратными 5 мм.

Таблица 7

ряд

Данные для решения задачи взять из табл. 8.

Порядок расчета вала на совместное действие крутящего и изгибающего моментов показан на примере.

Пример. Определить требуемые диаметры вала d_A, d_B, d_C, d_D (рис. 22,а). Принять .

Решение. 1). Скручивающие моменты, возникающие на звездочке и зубчатом колесе, определяем по формулам:

Рис. 21.

Таблица 8

№ строки	Расчетная схема	Р, кВт	w, рад/с	Марка стали	Предел текучести s_у, МПа	а, мм	D₁, мм	D₂, мм
	I			ст.30
	II			ст.40
	III			ст.45
	IV			ст.50
	V			ст.55
	VI			ст.60
	VII			ст.30ХМ
	VIII			ст.40ХМ
	IX			ст.12ХН3а
	X			ст.20ХН3а
	е	д	е	г	г	е	д	е

Из условия равновесия

откуда

Величина момента, скручивающего вал, может быть определена через требуемую мощность и угловую скорость:

б). Составим расчетную схему, приводя усилия и моменты к оси вала (рис. 22,б).

Крутящий момент действует на участке между звездочкой и зубчатым колесом (рис. 22,в). Окружные усилия и вызывают изгиб вала между опорами в вертикальной плоскости (рис. 22,г). Опорные реакции определим из уравнений статики

Рис. 22.

откуда

Аналогично

Используя метод сечений, определим изгибающие моменты. Строим эпюру изгибающих моментов от сил, действующих в вертикальной плоскости (рис. 22,г).

Радиальное усилие на зубчатое колесо примем равным . Оно вызывает изгиб вала в горизонтальной плоскости.

Опорные реакции определим из условия статического равновесия, а изгибающие моменты методом сечений. Строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости (рис. 22,д).

Суммируя изгибающие моменты, действующие в вертикальной и в горизонтальной плоскостях, определим изгибающий момент в характерных точках по длине вала (рис. 22,е), как геометрическую сумму составляющих моментов, то есть

В точке "С":

В точке "D":

Радиальное усилие можно было не учитывать вследствие незначительности.

Диаметры вала определим, используя третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений):

так как для вала круглого поперечного сечения

то

Таким образом:

в точке "С"

в точке "D"

Окончательно принимаем диаметры из первого ряда табл. 7: в точке "С" d_С = 125мм, в точке "D" d_D = 140мм.

Остальные диаметры назначаем из конструктивных соображений: d_A = d_B = 75 мм.

Задача 9

Условие задачи. Для чугунной внецентренно сжатой колонны, поперечное сечение которой показано на рис. 23, требуется:

1) определить допускаемое значение внецентренно приложенной сжимающей силы Fиз расчета на прочность(след линии действия силы на плоскости поперечного сечения обозначен точкой и буквой F).

2) при найденном значении силы F построить эпюру нормальных напряжений в поперечном сечении колонны.

Данные для решения задачи взять из табл. 9.

Порядок решения задачи показан на примере.

Пример. Определить допускаемое значение внецентренно приложенной силы F (рис. 24) и построить эпюру нормальных напряжений в поперечном сечении колонны.

Рис. 23.

Принять: , . Считать устойчивость колонны обеспеченной.

Таблица 9

№ строки	Расчетная схема	а, см	b, см	Материал	, МПа	, МПа
	I			СЧ12-28
	II			СЧ38-60
	III			СЧ28-48
	IV			СЧ12-28
	V			СЧ38-60
	VI			СЧ12-28
	VII			СЧ38-60
	VIII			СЧ28-48
	IX			СЧ12-28
	X			СЧ28-48
	е	г	д	е	е	е

Рис. 24

Решение. 1). Передача нагрузки на колонну осуществляется таким образом, что нагрузка смещена относительно главных осей поперечного сечения Ох и Оу. В результате чего нагрузка вызывает в сечении:

сжимающую продольную силу N = F

и изгибающие моменты .

Положение одной из главных осей Оу известно – это ось симметрии; положение оси Охнайдем, разбивая плоское сечение колонны на два прямоугольных элемента и вычислив статический момент сечения относительно вспомогательной оси :

откуда

Найденное значение откладываем в сторону отрицательных значений у от вспомогательной оси и проводим координатную ось Ох через центр тяжести сечения. Направление координатных осей Ох и Оу выбираем так, чтобы сила F находилась в первой четверти:

2). Напряжения определим, используя принцип суперпозиции (независимости действия сил), то есть

Знак минус перед формулой соответствует сжимающей силе; координаты х и уподставим со своими знаками.

Определим моменты инерции сложного сечения:

Определим радиусы инерции:

Наибольшие напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, уравнение которой запишем из условия , то есть:

Принимая , находим отрезок, отсекаемый нейтральной осью на оси у:

Принимая , находим отрезок, отсекаемый нейтральной осью на оси х:

По найденным значениям отрезков проводим нейтральную ось (рис. 24, б).

Точки "В" (координаты: ) и "D" (координаты: ) являются наиболее удаленными от нейтральной оси.

Напряжение в точке "В":

Приравняем найденное значение напряжения к допускаемому напряжению на сжатие , то есть = :

откуда

Напряжение в точке "D":

Приравниваем найденное значение напряжения к допускаемому напряжению на растяжение , то есть = :

откуда

Из полученных значений силы F_admвыбираем меньшее:

3). Определяем окончательные значения напряжений:

По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений (рис. 24,б).

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Задача 10

Условие задачи. Определить допускаемое значение центрально приложенной сжимающей силы, если коэффициент запаса устойчивости . Материал стойки – сталь 45

().

Данные для решения задачи взять из табл. 10.

Порядок решения задачи показан на примере.

Пример. Определить допускаемое значение центрально приложенной сжимающей силы F (рис. 25), если коэффициент запаса на устойчивость . Материал стойки

сталь 45.

Моменты инерции сечения, ограниченного эллипсом, определить по уравнениям: ; , где а и b - радиусы эллипса.

Площадь эллипса: .

Поворот опорного сечения в плоскости zy не допускается.

Решение. 1). Потеря устойчивости стойки происходит в плоскости наименьшей жесткости, то есть поперечные сечения поворачиваются относительно оси Оу. Момент инерции поперечного сечения относительно оси Оу равен:

Площадь сечения

Радиус инерции

Таблица 10

№ строки	Расчетная схема	Расчетное сечение	Длина стойки l, м	Схема закрепления концов стержня
	I II		2,1 2,2
	III IV		5,3 5,4
	V VI		6,5 6,6
	VII VIII		6,7 6,8
	IX X		5,0 5,0
	е	е	д	г

Рис. 25.

Коэффициент, учитывающий условие закрепления стойки в плоскости наименьшей жесткости (рис. 25, б), m = 0,7.

Гибкость стойки

Так как гибкость меньше предельной (), то формула Эйлера не применима.

Критическое напряжение может быть определено по эмпирической формуле Ясинского, которая имеет вид:

Тогда критическое значение сжимающей силы для стойки, выполненной из стали 45 (а = 449 МПа; b = 1,67 МПа), определим по формуле:

а допускаемое значение силы

Допускаемая нагрузка может быть так же определена по формуле:

Значение коэффициента уменьшения допускаемого напряжения j принимаем в зависимости от гибкости и материала стойки по табл. 11

Таблица 11

Гибкость стойки	Материал стойки
Ст.2, Ст.3,Ст.4	Ст.5	Чугун	Дерево
	1,00	1,00	1,00	1,00
	0,99	0,98	0,97	0,99
	0,96	0,95	0,91	0,97
	0,94	0,92	0,81	0,93
	0,92	0,89	0,69	0,87
	0,89	0,86	0,57	0,80
	0,86	0,82	0,44	0,71
	0,81	0,76	0,34	0,60
	0,75	0,70	0,26	0,48
	0,69	0,62	0,20	0,38
	0,60	0,51	0,16	0,31
	0,52	0,43	-	0,25
	0,45	0,37	-	0,22
	0,40	0,36	-	0,18
	0,36	0,29	-	0,16
	0,32	0,26	-	0,14
	0,29	0,24	-	0,12
	0,26	0,21	-	0,11
	0,23	0,19	-	0,10
	0,21	0,17	-	0,09
	0,19	0,16	-	0,08