Відображення. Типи відображень

Всюди визначена функціональна відповідність f Í A ´ B називається відображенням A в B і записується як і функція f: A ® B або A B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.

Відображення типу A ® A називають перетвореннями множини A.

Через B^A позначається множина всiх вiдображень з A в B.

Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr₁ f називають аргументами функції, образ елемента a ÎPr₁ f позначають через f (a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента b ÎPr₂ f позначають через f ^-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.

Нехай f: A ® B функція з множини A в множину B, а g: B ® C - функція з множини B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка позначається f °g, називається функція h: A ® C така, що h (a) = g (f (a)) для a ÎPr₁ f Í A і f (a)ÎPr₁ g Í B.

Відображення f називається сюр’єктивним (сюр’єкцією) або відображенням на множину B, якщо Pr₂ f = B.

Відображення f називається ін’єктивним (ін’єкцією) або різнозначним відображенням, якщо для кожного елемента b ÎPr₂ f його прообраз f ^-1(b) складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B.

Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр’єктивним і ін’єктивним, називається бієктивним відображенням або бієкцією.

Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в математиці, зокрема, в теорії множин.

19. Відно́шення еквівале́нтності.Класи еквівалентності.

Відно́шення еквівале́нтності в математиці — бінарне відношення, яке є рефлексивне, симетричне та транзитивне.

Формально, для деякого бінарного відношення R ⊆ M:

1. a R a для всіх a ∈ M (рефлексивність)

2. Якщо a R b, то b R a для a,b∈M (симетричність)

3. Якщо a R b і b R c, то a R c для a,b,c∈M (транзитивність)

[ред.]Приклади

1. Відношення рівності на будь-якій множині M є відношенням еквівалентності.

2. Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.

3. Відношення "мають однакову остачу при діленні на k" або конгруентність за модулем k, яке є відношенням еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого фіксованого k∈ N. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають a ≡ b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k=5, тобто 17 ≡ 22(mod 5), 1221 ≡ 6 (mod 5), 42 ≡ 57 (mod 5).

Сукупність множин {B_i|i∈I} називається розбиттям множини A, якщо B_i=A і B_i∩B_j = ∅ для i≠j. Множини B_i, i∈I є підмножинамимножини A і називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття. Очевидно, що кожний елемент a∈A належить одній і тільки одній множині B_i, i∈I.