Множества. Операции с множествами. Упорядоченное множество. Прямое произведение множеств

Множество – объединение в единое целое вполне различимых объектов.

Бывают бесконечные (математические) и конечные (нематематические), а так же нулевые (пустые).

Вхождение элемента a в множество A обозначается как a A (операция вхождения).

- строгое включение, - нестрогое

Свойства операции вхождения:

Способы задания:

1)Перечисление A={a,b,c,d} (элементы не повторяются и от перестановки элементов множество не изменяется. Может использоваться для конечного множества или бесконечного, если понятно как образуются последующие элементы)

2)Характеристическое свойство (элементы принадлежат множеству. Если удовлетворяют условию Р(х)) порождающая процедура (получение последующих элементов множества из предыдущих)

Операции с множествами:

1) Равенство – А=В если элементы этих множеств равны

2 ) Объединение множеств A и B состоит из элементов, принадлежащих A, и элементов, принадлежащих B, и обозначается как A È B;

3) Пересечение множеств A и B состоит из элементов, принадлежащих одновременно и A, и B, и обозначается как A Ç B;

4) Разность множеств A и B состоит из элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B, и обозначается как A\B;

5) Дополнение множества A состоит из элементов, принадлежащих универсальному множеству, но не принадлежащих A, и обозначается как ØA (дополнение множества до универсального U\А);

6) Симметрическая разность множеств A и B состоит из элементов, принадлежащих только A, и элементов, принадлежащих только B, и обозначается как A D B. A D B = (AÈB)\(AÇB); A D B = (A\B) È (B\A)

Совокупность подмножеств U вместе с операциямиÈ, Ç и Ø образуют алгебру множеств.

Упорядоченное множество (кортеж) – конечная последовательность элементов некоторого множества, т.е. совокупность, в которой каждый элемент стоит на определённом месте.

В отличие от множеств, элементы кортежей могут повторяться.

Обозначается <a₁, a₂, …, a_n> или (a₁, a₂, …, a_n), где n – длина кортежа, a_i – i-ая компонента кортежа. Два картежа равны, если равны их длины и соответствующие элементы.

Прямым(декартовым) произведением множеств A и B называется такое множество С, которое состоит из тех и только тех упорядоченных пар, в которых первая компонента принадлежит А, вторая – В. С=AxB = {(а, b)| a Î A, b Î B}. Пример: A = {1,2}, B = {c,d}, C = AxB = {(1,c),(1,d),(2,c),(2,d)}. |A x B| = |A| x |B|. Декартово произведение числовых множеств можно изображать на координатной плоскости.(элементы A на Ох, В на Оу).

Прямым произведением множеств A₁, A₂, …, A_n называется множество A₁ x A₂ x … x A_n, состоящее из упорядоченных n-ок (a₁, a₂, …, a_n), в которых a₁ Î A₁, a₂ Î A₂, …, a_n Î A_n.

A₁ x A₂ x … x A_n = 0 если хотя бы одно множество нулевое (A_i = 0)

m -той степенью множества А называется прямое произведение m множителей каждый из которых равен А. R x R (RxRxR) – декартова плоскость (пространство).