Пусть балка нагружена системой сил Т и силой F. Требуется определить перемещение точки под силой F в ее направлении.
Определим потенциальную энергию деформации балки силами Т и F, которая равна работе, совершаемой этими силами на перемещениях точек, в которых силы приложены.
Запишем выражение для U (потенц. энергия) с учетом последовательности нагружения балки внешними силами.
1) К балке прикладываем силу F, тогда потенциальная энергия деформации системы силой F: UF=½FΔFF.
2) Прикладываем систему сил Т, под действием которой точка под силой F получит дополнительное перемещение ΔFT. Сила F на перемещение ΔFT совершает работу: АFT= FΔFT
(Нет 1\2, т.к. сила F уже имела конечное значение; есть 1/2, если сила статически приложена, т.е. во время совершения работы она увеличивается от 0 до конечного значения без рывков и ударов медленно).
Потенциальная энергия деформации равна работе всех сил на их перемещение: U=АF+AFT+UTT
Где UTT –потенциальная энергия, накапливаемая балкой в результате ее деформации силами системы Т.
U =½FΔFT +FΔFT+UTT
Введем новый параметр: удельное перемещение [δ] – перемещение точки под единичной силой F¯=1Н в направлении ее действия, если вместо силы F приложить единичную силу в ее направлении, то получим перемещение ΔFF.
ΔFF=FδFF – связь истинного и удельного перемещения.
U=½F2ΔFF+FΔFT+UTT
Возьмем частную производную по F от U:
∂U/∂F=FδFF+ΔFT=ΔF – полное перемещение точки под силой F в ее направлении от действия всех сил приложенных к балке (F+Т).
Теорема Кастильяна: Перемещение точки под силой в ее направлении, равно частной производной от потенциальной энергии деформации системы по этой силе.
U=åin=1∫LiM2(x)dx/2EIZ; ΔF=∂U/∂F= =åi∫Li((M(x)/EIZ)(∂M/∂F)dx).
Метод Кастильяна используют для определения перемещений в оболочках, пластинах, массивах.
Если необходимо найти перемещение точки, в которой не приложена внешняя сила, то
1) В т.К прикладываем фиктивную силу по направлению искомого перемещения (если нужно определить угол поворота θ, то прикладываем фиктивный момент).
2) Записывают выражение М(х) с учетом FФ (реакции опор находят с учетом FФ).
3) Записывают интеграл метода Кастильяна в который уже включили производную от М(х)по FФ, т.е. ∂М(х)/∂FФ. В этом интеграле вместо FФ пишем нуль.
4) Интегрируем и получаем результат.