Численное интегрирование

Изучаемые вопросы: Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Гаусса. Задачи оптимизации. Формулы Эйлера и Грегори. Формулы Ромберга. Стандартные программы численного интегрирования. Построение программ с автоматическим выбором шага интегрирования.

Здесь также после изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно «Методическим указаниям к выполнению контрольной работы.

1.3.1. Приближенное вычисление определенного интеграла

Простейшие формулы для приближённого вычисления определённого интеграла называются квадратурными. В многомерном случае их называют также кубатурными. К простейшим квадратурным формулам относятся формулы прямоугольников, трапеций и формула Симпсона, объединённые общим названием – квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Все эти формулы основаны на свойстве аддитивности определённого интеграла, а именно: интеграл по сумме отрезков равен сумме интегралов по этим отрезкам. Поэтому, если нужно вычислить определённый интеграл от некоторой функции вдоль отрезка , то его можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам разбиения интервала : ,где .

Задача состоит в выборе достаточного числа разбиений отрезка (отрезки , как правило, выбираются одинаковыми), и удачной замене подынтегральной функции . Обычно она заменяется интерполяционным многочленом степени :

, (1)

где – остаточный член интерполяции.

Т. о., на каждом частичном промежутке

где – приближённое значение интеграла на частичном промежутке, а – величина ошибки на том же промежутке.

Соответственно, приближённое значение интеграла , (2)

а ошибка

. (3)

На рис. 1 представлена геометрическая интерпретация определённого интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, графиком функции и прямыми , и интеграла на частичном промежутке . (Заштрихованная криволинейная трапеция).

Заметим здесь, что если считать шаг разбиения в методе Симпсона равным целому, без деления пополам, то в расчётах, вместо формулы (2.16) (п.2.4 Учебного пособия), можно использовать следующую:

. (4)

Соответствующие формулы, вместе с оценками погрешностей и примерами вычислений Вы можете найти в Учебном пособии.

Более полное изложение этой темы – в [7], c.86-163.

Вопросы для самопроверки по теме 1.3

1. Напишите формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона.

2. Сформулируйте обобщённую теорему о среднем.

Приближение функций

Из всех вопросов темы 1.4. Приближение функций изучается лишь метод наименьших квадратов. Вопросы этой темы не содержатся в контрольной работе, поэтому здесь приводятся только основные теоретические положения.

Метод наименьших квадратов

Пусть известно, что величины и связаны некоей функциональной зависимостью. Требуется приближенно определить эту функциональную зависимость по экспериментальным данными. Предположим, что в результате измерений получен ряд экспериментальных точек . Мы уже знаем, что через точек всегда можно провести кривую, аналитически выражаемую многочленом - ой степени. Этот многочлен называют интерполяционным. Вообще, замену функции на функцию так, что их значения совпадают в заданных точках

, , (1)

называют интерполяцией.

Однако такое решение проблемы не всегда является удовлетворительным, поскольку из-за случайных ошибок измерения и, возможно, случайной природы самих величин x и y. Т.о., можно записать, что

(2)

где – некоторая случайная ошибка. Поэтому требуется провести кривую так, чтобы она в наименьшей степени зависела от случайных ошибок. Эта задача называется сглаживанием (аппроксимацией) экспериментальной зависимости и часто решается методом наименьших квадратов. Сглаживающую кривую называют аппроксимирующей.

Задача аппроксимации решается следующим образом. В декартовой прямоугольной системе координат наносят точки . По виду расположения этих точек делается предположение о принадлежности искомой функции к определенному классу. Например, линейная , квадратичная и т.п. В общем случае . Неизвестные параметры функции определяются из требования минимума суммы квадратов случайных ошибок, т.е. минимума величины

. (3)

Величина называется также суммарной невязкой. Необходимым условием минимума функции нескольких переменных является обращение в нуль частных производных невязки:

, . (4)

Решая систему уравнений (4), находят неизвестные параметры и тем самым полностью определяют функцию, которая наилучшим образом (в смысле наименьших квадратов отклонений от исходных точек или наименьшей суммарной невязки) аппроксимирует искомую функцию .

Рассмотрим подробнее линейную зависимость .

Дифференцируя (3), получим следующую систему уравнений

(5)

Из первого уравнения находим , где

, . (6)

Подставляя выражение для во второе уравнение, найдем

, (7)

где

, . (8)

Таким образом,

(9)

есть искомая линейная функция.

Ввиду простоты расчетов аппроксимация линейной зависимости используется довольно часто. Кроме того, многие функции, зависящие от двух параметров, можно линеаризовать путем замены переменных.

Для этого необходимо подобрать такое преобразование исходной зависимости , в результате которого она приобретает линейный вид . Далее решается задача линейной аппроксимации для новой зависимости и вычисленные коэффициенты и пересчитываются в коэффициенты и .

Для ряда часто встречающихся двухпараметрических зависимостей возможные замены переменных (а также, обратные замены для пересчета и в и ) приведены в табл. 1.

Таблица 1.

Вид зависимости	Замена переменных	Ограничения	Обратная замена переменных
Гиперболическая
Логарифмическая
Показательная
Степенная
Комбинированная

Более полное изложение этой темы – в [7], c.164-200.

Вопросы для самопроверки по теме 1.4

1. Что называется суммарной невязкой?

2. В чём состоит условие минимума функции нескольких переменных?

Многомерные задачи

Одной из многомерных задач является приближение функции нескольких переменных. В этом случае часто используют метод наименьших квадратов, который для одномерного случая рассматривался нами в предыдущей теме. Построив аппроксимирующую функцию, мы естественным образом можем её дифференцировать и интегрировать.

Другим способом получения приближения функции является т.н. метод Монте-Карло. Применение его предполагает знакомство с теорией вероятности, которая является второй частью курса вычислительной математики. Поэтому вопросы темы 1.5 не содержатся в контрольной работе, и здесь приводятся только основная идея этого метода.

Методами Монте-Карло называют обычно численные методы решения задач при помощи моделирования случайных величин. Эти методы используются для решения задач физики, радиотехники, химии, биологии, экономики.

Например, нужно вычислить определённый интеграл: Его значение равно площади G на рисунке.

Если бросать в единичный квадрат точку, то отношение числа бросаний m, попавших в G к общему числу бросаний n даст оценку вероятности попадания в область G: