Из всех вопросов темы 1.6. Численные методы алгебры, изучается вопрос о приближённом решении уравнений.
После изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно «Методическим указаниям к выполнению контрольной работы «Численные методы и инженерные расчёты» (с.74).
Приближённое вычисление корней уравнения
В общем случае задача отыскания точных значений корней уравнения неразрешима. Даже для алгебраических уравнений выше третьей степени нет решений в виде формул с конечным числом арифметических действий.
Сформулируем задачу следующим образом:
Дано уравнение
(1)
где - непрерывная функция в области . Корни этого уравнения – это те значения аргумента , которые обращают уравнение (1) в тождество. Найти приближённое значение корня с точностью означает указать интервал длиной не более , содержащий точное значение корня .
Решение этой задачи состоит из двух этапов:
1. Отделение корня, т.е. выделение отрезка из области непрерывности функции , содержащего только один корень уравнения (1).
|
|
2. Уточнение корня, т.е. построение итерационного процесса, позволяющего сколь угодно сузить границы выделенного интервала до значения заданной точности. Первоначальные границы его можно рассматривать как нулевое приближение искомого корня ( – с недостатком, – с избытком).
Для отделения корней уравнения (1) нужно знать те условия, которые позволяют утверждать, что, во-первых, на промежутке есть корень уравнения, а во-вторых, что он единственный на этом промежутке. Здесь следует иметь в виду следующее.
1. Если непрерывна на и имеет на концах промежутка разные знаки, то на существует нечётное количество корней. На рис.1 кривая соответствует функции , а точки – точки пересечения графика функции с осью абсцисс – корни уравнения . Т.о., разные знаки функции на концах промежутка обеспечивают наличие корня на , но не гарантируют его единственности.
2. Если непрерывна на и имеет на концах промежутка одинаковые знаки, то, как правило, на этом промежутке число корней чётно, в том числе и 0, т.е. они могут и отсутствовать (рис.2 а, б).
а) б)
Рис.2
Однако нельзя не учитывать, что корнем функции может быть не только точка пересечения графика с осью ОХ, но и точка касания с осью (рис.3 а, б, в). Заметим, что в этих случаях в точке нарушается монотонность функции .
Рис.3
Таким образом, можно сформулировать следующий достаточный критерий для отделения корня: если на интервале функция непрерывна, монотонна и её значения на концах интервала имеют разные знаки, то на существует один и только один корень уравнения (1).
|
|
Из этого критерия следует, что для единственности корня на достаточно, чтобы выполнялось условие , а производная этой функции была бы знакопостоянна при любом (рис.4 а, б).
Замечание 1. Для единственности корня на при бывает достаточно и знакопостоянства второй производной (рис.4 в, г).
|
Итак, для того, чтобы отделить все вещественные корни уравнения (1), достаточно найти все интервалы монотонности , т.к. на каждом из этих интервалов может быть не более одного корня. Если на интервале монотонности , то корень есть, если , то корня нет. Интервалы монотонности соответствуют интервалам знакопостоянства .
Замечание 2. Следует рассмотреть те случаи, когда имеет одинаковые знаки на концах интервала, и, тем не менее, на нём существует корень (см. рис.3). Заметим, что в точках , соответствующих корню, производная либо не существует, либо равна нулю, либо , т.е. в этих точках достигает экстремума и, следовательно, корень является границей монотонности.
Т.о., чтобы отделить все корни уравнения (1) следует: 1) найти промежуток, где , а или , или обе производные знакопостоянны; 2) отыскать нули и точки разрыва и проверить, не являются ли они корнями уравнения (1).
Пример. Отделить все вещественные корни уравнения . Имеем: . Здесь непрерывна, поэтому для определения её интервалов монотонности достаточно найти нули производной : . Таким образом, отделяются три промежутка монотонности и, следовательно, имеется не более трёх корней на следующих промежутках:
При этом 1.026373149, -5.026373149, следовательно, на промежутке есть единственный корень.
Чтобы отделить два оставшихся корня, вычислим , тогда на промежутке корня нет. на интервале (-2; -1) есть единственный корень. Аналогично, на интервале корня нет, а на интервале [1; 2] – также единственный корень. Графики и её первой и второй производной – рис.5 а), б), в).
а) б) в)
Рис.5
О методах отделения корней Вы можете прочитать подробнее в [2, Раздел 4].
Вопросы для самопроверки по теме 1.6
1. Можно ли в общем случае найти корни уравнения ?
2. Какие этапы следует пройти при вычислении корней уравнения ?
3. Каково условие единственности корня на отрезке ?