Неравенство Чебышева

Случайный характер величины проявляется в том, что нельзя предвидеть, какое именно из своих значений она примет в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин, учесть которые мы не в состоянии. Поскольку о каждой случайной величине мы располагаем весьма скромными сведениями, то оказалось бы, что вряд ли можно установить закономерности поведения суммы достаточно большого числа случайных величин. В действительности - это не так.

Оказывается, что совокупное действие многих случайных причин может приводить к результату, почти не зависящему от случая.

Так, при рассмотрении суммы большого числа случайных величин и их средних арифметических мы обнаруживаем, что частичное погашение отклонений при сложении вызывает уменьшение рассеяния средней арифметической и дает возможность предсказать ее поведение при неограниченном увеличении числа слагаемых, т.е. поведение суммы большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным; здесь необходимое прокладывает себе дорогу сквозь множество случайностей.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, т.к. позволяет предвидеть ход явлений.

Закономерности такого рода и условия их возникновения составляют содержание ряда важных теорем, получивших общее название " закона больших чисел".

В исследовании этих вопросов значит роль сыграли работы выдающегося русского математика, академика П.Л. Чебышева (1821-1894) и его учеников.

Закон больших чисел играет важную роль в практическом применении теории вероятности.

Свойство случайных величин вести себя (при определенных условиях) практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.

Неравенство Чебышева оценивает вероятность того, что отклонение случайных величин х от М[x] не превзойдет заданное положительное число e.. Для любой случайной величины справедлива

заданное положительное число (" e > 0)

Эта вероятность тем меньше, чем меньше дисперсия, в качестве характеристики рассеяния. Приведем доказательство для непрерывных случайных величин, известно, что

f(x) – плотность распределения.

Интеграл в правой части распространяется как интервалы от -∞ до а – e и от а – e до ∞. В этих интервалах имеет место следующее неравенство. Возьмем данный интервал и возведем в квадрат , так как f(x) – неотрицательная функция f(x) > 0 умножим обе части на f(x) и проинтегрируем.

В силу положительности подинтегральной функции можно перейти к интегралу: -∞; +∞

(1)

другая формула неравенства (1). Если (х-а) < e, то

(2)

Теорема Чебышева

Основная форма закона больших чисел.

Рассмотрим последовательность попарно независимые случайные величины х₁,х₂…….х_n. Пусть все они имеют математическое ожидание и дисперсии. M[x₁], D[x₁] и средняя арифметическая из первых n -величин.

Распишем

. Пусть все дисперсии x_n ограничены числом с, , тогда . Отсюда видно, что дисперсия от среднего → 0 при n → ¥. Применяя к неравенство Чебышева:

или заменим .

Правая часть неравенства ® 0, при n ® ¥, а левая неотрицательна, потому из данного неравенства следует что , при n ® ¥

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается довольно большое число попарно независимых случайных величин имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверно можно считать, что средняя арифметическая случайной величины сходятся по вероятности со средней арифметической их математического ожидания.

Частный случай – все случайные величины имеют одно и тоже M[x], тогда

M[x]=a,