Примеры решения задач

Пример 1. Первоначальная масса радиоактивного изотопа радона (период полураспада сут) равна 1,5 г. Определить: 1) начальную активность изотопа; 2) его активность через 5 сут.

Решение. Начальная активность изотопа

где — постоянная радиоактивного распада; - число ядер изотопа в начальный момент времени: , где — молярная масса радона ( кг/моль); моль^-1 постоянная Авогадро. Учитывая эти выражения, найдем искомую начальную активность изотопа:

Активность изотопа , где, согласно закону радиоактивного распада, — число нераспавшихся ядер в момент времени t. Учитывая, что , найдём, что активность нуклида уменьшается со временем по закону

Вычисляя, получаем: 1) Бк; 2) Бк.

Пример 2. В ычислить дефект массы и энергию связи ядра ⁷₃Li.

Р е ш е н и е. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Δ m и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т. е.

Δ m = Z m _p + (A - Z) m _n – m _я, (1)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); m _p, m _n, m _я – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формула (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса m _я нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: m _а = m _я + Z m _е, откуда

m _я = m _а - Z m _е. (2)

Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2), получаем

Δ m = Z m _p + (A – Z) m _n– m _a+ Z m _e, или

Δ m = Z (m _p+ m _e) + (A - Z) m _n– m _a.

Замечая, что m _р+ m _е= m _н, где m _н– масса атома водорода, окончательно находим

Δ m = Z m _H+ (A - Z) m _n– m _a.. (3)

Подставив в выражение (3) числовые значения масс, получим

Δm = [3 Ì 1,00783 + (7 - 3) Ì 1,00867 – 7 Ì 0,1601] а. е. м =0,04216 а. е. м.

В соответствии с законом пропорциональности масс и энергии

E = c ²Δ m, (4)

где с – скорость света в вакууме.

Коэффициент пропорциональности c ²может быть выражен двояко:

c ² = 9 Ì 10¹⁶ м²/с², или c ² = Δ Е /Δ m = 9 Ì 10¹⁶ Дж/кг.

Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то c ² = 931 МэВ/а. е. м. С учетом этого формула (4) примет вид

Е = 931Δ m (МэВ). (5)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

Е = 931 Ì 0,04216 МэВ.

Пример 3. При соударении α-частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода ¹₁Н. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Р е ш е н и е. Обозначим неизвестное ядро символом ^A_ZX. Так как α-частица представляет собой ядро гелия ⁴₂Не, запись реакции примет вид

⁴₂Не + ¹⁰₅В → ¹₁Н + ^A_ZX.

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4 + 10 = 1+А, откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = 1 + Z, откуда Z =6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода ¹³₆С.

Теперь можно записать реакцию в окончательном виде:

⁴₂Не + ¹⁰₅В →¹₁Н + ¹³₆С.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле

Q = 931[(m_He+ m_B) – (m_H + m_C)].

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов в расчетную формулу, получим

Q = 931(4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335) МэВ = 4,06 МэВ.

Пример 4. Удельная проводимость кремниевого образца при нагревании от температуры до температуры увеличилась в 4,24 раза. Определить ширину запрещенной зоны кремния.

Решение. Удельная проводимость собственных полупроводников

где постоянная, характерная для данного полупроводника; ширина запрещенной зоны.

Тогда

или, прологарифмировав,

откуда искомая ширина запрещенной зоны

Вычисляя, получим

Таблица вариантов для задания № 2

Номер варианта	Номера задач

1. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны l=102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус r электронной орбиты возбужденного атома водорода.

2. Вычислитьпо теории Бора радиус r₂ второй стационарной орбиты и скорость u₂ электрона на этой орбите для атома водорода.

3. Вычислить по теории Бора период Т вращения электрона в атоме водорода, находящегося в возбужденном состоянии, определяемом главным квантовым числом п = 2.

4. Определить изменение энергии DE электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с частотой n=6,28×10¹⁴ Гц.

5. Во сколько раз изменится период Т вращения электрона в атоме водорода, если при переходе в невозбужденное состояние атом излучил фотон с длиной волны l=97,5 нм?

6. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с длиной волны l=435 нм?

7. В каких пределах Dl должна лежать длина волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус r_n орбиты электрона увеличился в 16 раз?

8. В однозарядном ионе лития электрон перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить длину волны l излучения, испущенного ионом лития.

9. Электрон в атоме водорода находится на третьем энергетическом уровне. Определить кинетическую Т, потенциальную П и полную Е энергию электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.

10. Фотон выбивает из атома водорода, находящегося в основном состоянии, электрон с кинетической энергией T=10эВ. Определить энергию e фотона.

11. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны l молекул азота, содержащихся в воздухе при комнатной температуре.

12. Определить энергию DT, которую необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от l₁=0,2 мм до l₂= 0,1нм.

13. На сколько по отношению к комнатной должна измениться температура идеального газа, чтобы дебройлевская длина волны l его молекул уменьшилась на 20%?

14. Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму в виде узкой прямоугольной щели, ширина которой а =0,06 мм. Определить скорость этих электронов, если известно, что на экране, отстоящемот щели на расстоянии l =40 мм, ширина центрального дифракционного максимума b= 10 мкм.

15. При каких значениях кинетической энергии Т электрона ошибка в определении дебройлевской длины волны l по нерелятивистской формуле не превышает 10%?

16. Из катодной трубки на диафрагму с узкой прямоугольной щелью нормально к плоскости диафрагмы направлен поток моноэнергетических электронов. Определить анодное напряжение трубки, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l =0,5м, ширина центрального дифракционного максимума Dx = 10,0 мкм. Ширину b щели принять равной 0,10мм.

17. Протон обладает кинетической энергией T = 1 кэВ. Определить дополнительную энергию DT, которую необходимо ему сообщить для того, чтобы длина волны l де Бройля уменьшилась в три раза.

18. Определить длины волн де Бройля a-частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ.

19. Электрон обладает кинетической энергией Т = 1,02 МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия Т электрона уменьшится вдвое?

20. Кинетическая энергия Т электрона равна удвоенному значению его энергии покоя (2m₀c²). Вычислить длину волны l де Бройля для такого электрона.

21. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферы радиусом R=0,05нм.

22. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки Du в определении скорости электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью 1 мкм.

23. Какова должна быть кинетическая энергия Т протона в моноэнергетическом пучке, используемого для исследования структуры с линейными размерами l» 10^{-13 см?}

24. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину l одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электрона E_min=10 эB.

25. Альфа-частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину l ящика, если известно, что минимальная энергия a-частицы Е_min=8МэВ.

26. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет Dt=10^-8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны (l) которого равна 600нм. Оценить ширину Dl, излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет других процессов.

27. Для приближенной оценки минимальной энергии электрона в атоме водорода можно предположить, что неопределенность Dr радиуса r электронной орбиты и неопределенность Dр импульса р электрона на такой орбите соответственно связаны следующим образом: Dr»r и Dр» р. Используя эти связи, а также соотношение неопределенностей, найти значение радиуса электронной орбиты, соответствующего минимальной энергии электрона в атоме водорода.

28. Моноэнергетический пучок электронов высвечивает в центре экрана электронно-лучевой трубки пятно радиусом r» 10^{-3 см. Пользуясь соотношением неопределенностей, найти, во сколько раз неопределенность}D x координаты электрона на экране в направлении, перпендикулярном оси трубки, меньше размера r пятна. Длину L электронно-лучевой трубки принять равной 0,50м, а ускоряющее электрон напряжение U — равным 20 кВ.

29. Среднее время жизни Dt атома в возбужденном состоянии составляет около 10^-8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны l которого равна 400 нм. Оценить относительную ширину Dl/l, излучаемой спектральной линии, если не происходит уширения линии за счет других процессов.

30. Для приближенной оценки минимальной энергии электрона в атоме водорода можно предположить, что неопределенность Dr радиуса r электронной орбиты и неопределенность Dр импульса р электрона на такой орбите соответственно связаны следующим образом: Dr»r и Dр» р. Используя эти связи, а также соотношение неопределенностей, определить минимальное значение энергии T_min электрона в атоме водорода.

31. Частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Найти отношение разности DE_n_._n₊₁ соседних энергетических уровней к энергии Еп частицы в трех случаях: 1) п = 2; 2) п = 5; 3) п ® ¥.

32. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l =0,1 нм. Определить в электрон-вольтах наименьшую разность энергетических уровней электрона.

33. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (n=3). Определить, в каких точках интервала 0 < х < l плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения.

34. В прямоугольной потенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками (0< х < l) находится частица в основном состоянии. Найти вероятность W местонахождения этой частицы в области ¹/₄ l < x < ³/₄l.

35. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W обнаружения частицы в крайней четверти ящика?

36. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид , где А – некоторая постоянная; a₀ — первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода наиболее вероятное расстояние электрона от ядра.

37. Частица находится в основном состоянии в прямоугольной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками. Во сколько раз отличаются вероятности местонахождения частицы: W₁ – в крайней трети и W₂ – в крайней четверти ящика?

38. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид , где А – некоторая постоянная; a₀ – первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение F кулоновской силы.

39. Электрон находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале 0 < х < l плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком.

40. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид , где А – некоторая постоянная; a₀ – первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение (П) потенциальной энергии.

41. Найти период полураспада T_1/2 радиоактивного изотопа, если его активность за время t = 10 сут уменьшилась на 24% по сравнению с первоначальной.

42. Определить, какая доля радиоактивного изотопа распадается в течение времени t = 6 сут.

43. Активность А некоторого изотопа за время t = 10 сут уменьшилась на 20%. Определить период полураспада T_1/2 этого изотопа.

44. Определить массу т изотопа , имеющего активность A = 37 ГБк.

45. Найти среднюю продолжительность жизни t атома радиоактивного изотопа кобальта .

46. Счетчик a-частиц, установленный вблизи радиоактивного изотопа, при первом измерении регистрировал N₁= 1400 частиц в минуту, а через время t = 4 ч – только N₂ = 400. Определить период полураспада T_1/2 изотопа.

47. Во сколько раз уменьшится активность изотопа через время t = 20 сут?

48. На сколько процентов уменьшится активность изотопа иридия за время t =15сут?

49. Определить число N ядер, распадающихся в течение времени: 1) t₁ =1 мин; 2) t₂= 5 сут, – в радиоактивном изотопе фосфора массой т = 1 мг.

50. Из каждого миллиона атомов радиоактивного изотопа каждую секунду распадается 200 атомов. Определить период полураспада T_1/2 изотопа.

51. Определить количество теплоты Q, выделяющейся при распаде радона активностью А = 3,7×10¹⁰ Бк за время t = 20 мин. Кинетическая энергия Т вылетающей из радона a-частицы равна 5,5 МэВ.

52. Масса m=1 г урана в равновесии с продуктами его распада выделяет мощность Р = 1,07Х10^-7 Вт. Найти молярную теплоту Qm, выделяемую ураном за среднее время жизни t атомов урана.

53. Определить энергию, необходимую для разделения ядра ²⁰Ne на две a-частицы и ядро ¹²С. Энергии связи на один нуклон в ядрах ²⁰Ne, ⁴ He и ¹²С равны соответственно 8,03; 7,07 и 7,68 МэВ.

54. В одном акте деления ядра урана ²³⁵U освобождается энергия 200 МэВ. Определить: 1) энергию, выделяющуюся при распаде всех ядер этого изотопа урана массой т = 1 кг; 2) массу каменного угля с удельной теплотой сгорания q = 29,3 МДж/кг, эквивалентную в тепловом отношении 1 кг урана ²³⁵U.

55. Мощность Р двигателя атомного судна составляет 15 Мвт, его КПД равен 30%. Определить месячный расход ядерного горючего при работе этого двигателя.

56. Считая, что в одном акте деления ядра урана ²³⁵U освобождается энергия 200 МэВ, определить массу т этого изотопа, подвергшегося делению при взрыве атомной бомбы с тротиловым эквивалентом 30×10⁶ кг, если тепловой эквивалент тротила q равен 4,19 МДж/кг.

57. При делении ядра урана ²³⁵U под действием замедленного нейтрона образовались осколки с массовыми числами M₁ = 90 и M₂ = 143. Определить число нейтронов, вылетевших из ядра в данном акте деления. Определить энергию и скорость каждого из осколков, если они разлетаются в противоположные стороны и их суммарная кинетическая энергия Т равна 160 МэВ.

58. Ядерная реакция ¹⁴N (а, р)¹⁷ О вызвана a-частицей, обладавшей кинетической энергией T_a = 4,2 МэВ. Определить тепловой эффект этой реакции, если протон, вылетевший под углом J=60° к направлению движения a-частицы, получил кинетическую энергию Т = 2. МэВ.

59. Определить тепловые эффекты следующих реакций: ⁷Li(p,n)⁷Be и ¹⁶O(d,a)¹⁴N.

60. Определить скорости продуктов реакции ¹⁰В(n,a)⁷Li, протекающей в результате взаимодействия тепловых нейтронов с покоящимися ядрами бора.

61. Объяснить, как изменяется положение химического элемента в таблице Менделеева после α- и β-распадов ядер его атомов.

62. Пользуясь таблицей Менделеева и правилами смещения, определить, в какой элемент превращается ²³³₉₂U после шести α- и трех β-распадов.

63. Ядра радиоактивного изотопа тория ²³²₉₀Th претерпевают последовательно α-распад, два β-распада и α-распад. Определить конечный продукт деления.

64. Радиоактивный изотоп радия ²²⁵₈₈Ra претерпевает четыре α-распада и два β-распада. Определить для конечного ядра: 1) зарядовое число Z; 2) массовое число A.

65. Записать α-распад радия ²²⁵₈₈Ra.

66. Записать β-распад магния ²⁷₁₂Mg.

67. Объяснить, почему существование антинейтрино полностью позволяет объяснить все особенности β-распада.

68. Описать основные процессы, происходящие при взаимодействии γ-излучения с веществом.

69. Определить зарядовое число Z и массовое число А частицы, обозначенной буквой X, в символической записи ядерной реакции: 1) ; 2) ; 3) .

70. Записать превращение протона в нейтрон с указанием частиц, которые при этом испускаются. Объяснить, почему это превращение энергетически возможно только для протона, связанного в ядре.

71. Объяснить различие в электрических свойствах металлов, диэлектриков и полупроводников с точки зрения зонной теории твердого тела.

72. Объяснить различие между диэлектриками и полупроводниками с точки зрения зонной теории твердого тела.

73. Объяснить различие между металлами и диэлектриками с точки зрения зонной теории твердого тела.

74. Объяснить механизм дырочной проводимости собственных полупроводников.

75. Используя зонную схему, объяснить механизм физических процессов, происходящих в p – n-переходе.

76. Объяснить, в каком направлении не могут проходить через запирающий слой контакта полупроводников n- и p-типа: 1) свободные электроны; 2) дырки.

77. Германиевый образец нагревают от 0 до 17^оС. Принимая ширину запрещенной зоны кремния ΔЕ = 0,72 эВ, определить, во сколько раз возрастает его удельная проводимость.

78. Определить ширину запрещенной зоны собственного полупроводника, если при температурах Т₁ и Т₂ (Т₂ > Т₁) его сопротивления соответственно равны R₁ и R₂.

79. В чистый германий введена небольшая примесь мышьяка. Пользуясь Периодической системой элементов Д. И. Менделеева, определить и объяснить тип проводимости примесного германия.

80. В чистый кремний введена небольшая примесь бора. Пользуясь Периодической системой элементов Д. И. Менделеева, определить и объяснить тип проводимости примесного кремния.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ