Пример 1. Определить частоту света, излучаемого возбужденным атомом водорода, при переходе электрона на второй энергетический уровень, если радиус орбиты электрона изменился в 9 раз.
Решение. Согласно обобщенной формуле Бальмера, частота света, излучаемого атомом водорода,
, (1)
где — постоянная Ридберга; m определяет серию (по условию задачи, m=2-серия Бальмера), т.е. номер орбиты, на которую переходит электрон; n определяет отдельную линию серии, т.е. номер орбиты, с которой переходит электрон.
Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности радиусом под действием кулоновской силы,
. (2)
Согласно теории Бора, момент импульса электрона, движущегося по n-й орбите,
. (3)
Решая уравнения (2) и (3), получим
. (4)
Из выражения (4) и условия задачи следует, что
. (5)
Умножив и разделив правую часть уравнения (1) на и учитывая (5), получим искомую частоту
.
Вычисляя, получаем .
Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) В; 2) кВ.
|
|
Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса ρ и определяется формулой
, (1)
где h— постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).
В нерелятивистском случае
, (2)
где — масса покоя частицы.
В релятивистском случае
, (3)
где — энергия покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:
в нерелятивистском случае
, (4)
в релятивистском случае
.
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов и , с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U,
.
В первом случае эВ= МэВ, что много меньше энергии покоя электрона МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что . Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
.
Учитывая, что есть комптоновская длина волны , получаем
.
Так как = 2,43 пм, то
пм =171пм.
Во втором случае кинетическая энергия
кэВ = 0,51 МэВ,
т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что МэВ= = , по формуле (5) находим
|
|
,
или
.
Подставим значение и произведем вычисления:
пм =1,40 пм.
Пример 3. Электронный пучок ускоряется в электроннолучевой трубке разностью потенциалов кВ. Принимая, что неопределенность импульса равна 0,1% от его числового значения, определить неопределенность координаты электрона. Являются ли в данных условиях электроны квантовой или классической частицей?
Ρ е ш е н и е. Согласно соотношению неопределенностей,
, (1)
где — неопределенность координаты электрона; — неопределенность его импульса; Дж -постоянная Планка.
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов кэВ, т. е. электрон при данных условиях является нерелятивистской частицей (см. пример 3), и импульс электрона
кг м/с.
Согласно условию задачи, неопределенность импульса кг м/с, т.е. , и электрон при данных условиях является классической частицей. Из выражения (1) следует, что искомая неопределенность координаты электрона
.
Вычисляя, получаем нм.
Пример 4. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном ящике шириной . Вычислить вероятность нахождения частицы в малом интервале в двух случаях: 1 (вблизи стенки) ; 2) в средней части ящика
Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от х до х+dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна
.
В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до 0,01 (рис. 4):
.
Знак модуля опущен, так как ψ — функция в данном случае не является комплексной.
Так как изменяется в интервале и, следовательно, , справедливо приближенное равенство
.
С учетом этого выражения (1) примет вид
.
После интегрирования получим
.
Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением
,
или
.
Пример 5. Нормированная волновая функция, описывающая 1s-состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где — расстояние электрона от ядра;
а - первый боровский радиус. Определить вероятность W обнаружения электрона в атоме внутри сферы радиусом
Решение. функция, описывающая 1s-состояние электрона в атоме водорода, сферически-симметрична (зависит только от ). Поэтому элемент объема, отвечающий одинаковой плотности вероятности, выбирают в виде объема сферического слоя радиусам и толщиной : .
Вероятность обнаружить электрон в элементе объема
.
Вероятность W найдем, интегрируя dW в пределах от до :
. (1)
По условию задачи, мало (; пм), поэтому сомножитель можно разложить в ряд
(2)
Подставив (2) в (1) и пренебрегая в (2) членами второго порядка, получим
.
Таким образом, .
АТОМНОЕ ЯДРО. РАДИОАКТИВНОСТЬ. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)
,
где Ζ — зарядовое число (число протонов); N — число нейтронов.
Закон радиоактивного распада
, или ,
где — число ядер, распадающихся за интервал времени ; N — число ядер, не распавшихся к моменту времени ; — число ядер в начальный момент (); λ — постоянная радиоактивного распада.
Число ядер, распавшихся за время ,
.
В случае, если интервал времени , за который определяется число распавшихся ядер; много меньше периода полураспада , то число распавшихся ядер можно определить по формуле
.
Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада
.
Среднее время τ жизни радиоактивного ядра, т. е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз,
|
|
.
Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,
,
где — масса изотопа; Μ — молярная масса; — постоянная Авогадро.
Активность А радиоактивного изотопа
, или ,
где — число ядер, распадающихся за интервал времени ; — активность изотопа в начальный момент времени.
Удельная активность изотопа
.
Дефект массы ядра
,
где Ζ — зарядовое число (число протонов в ядре; А — массовое число (число нуклонов в ядре); (Α-Ζ) — число нейтронов в ядре; — масса протона; — масса нейтрона; — масса ядра.
Энергия связи ядра
,
где — дефект массы ядра; - скорость света в вакууме.
Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна , где дефект массы — в а. е. м.; 931 — коэффициент пропорциональности (1 а. е. м. МэВ).
Концентрация электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне
и
где Е2 – энергия, соответствующая дну зоны проводимости; Е1 – энергия, соответствующая верхней границе валентной зоны; ЕF – энергия Ферми; Т – термодинамическая температура; С1 и С2 – постоянные, зависящие от температуры и эффективных масс электронов проводимости и дырок (при равенстве последних С1 = С2).
Уровень Ферми в собственном полупроводнике
где ширина запрещенной зоны.
Удельная проводимость собственных полупроводников
где постоянная, характерная для данного полупроводника.