Две основные задачи динамики точки

 

Первая задача: зная массу точки и закон ее движения, определить действующие на данную точку силы.

Так, если движение точки задано в прямоугольной системе координат, то суть задачи состоит в следующем:

Дано: m, x = f (t), y = f (t), z = f (t).

----------------------------------------------------------

Определить: Fx, Fy, Fz.

 

Первая задача динамики точки решается методом дифференцирования ее уравнений движения.

Вторая задача: зная массу точки и действующие на нее силы, определить закон движения данной точки.

 

При задании движения точки в прямоугольной системе координат задача имеет вид:

Дано: m, Fx, Fy, Fz.

----------------------------------------------------

Определить: x = f (t), y = f (t), z = f (t).

 

Вторая задача динамики точки решается интегрированием уравнений, определяющих закон изменения силы. При этом следует иметь в виду, что сила, действующая на материальную точку может быть постоянной или зависеть от времени, координат движущейся точки, ее скорости и др.

 

Примеры решения задач

Задача 1

Материальная точка массой m = 1,4 кг движется прямолинейно по закону . Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к точке.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: .

Спроецируем это уравнение на ось Х:

OX: ; м/с; м/с²; Н.

Ответ: Н.

Задача 2

На материальную точку массой m = 200 кг, которая находится на горизонтальной поверхности, действует вертикальная подъемная сила . Определить время t, при котором начнется движение точки.

Решение

Запишем основное уравнение динамики: . Для условия данной задачи запишем: .

Спроецируем это уравнение на ось Y:

OY:

В момент отрыва и .

; с.

Ответ: с.

 

Задача 3

Материальная точка M массой m = 8 кг движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса R = 18 м. Определить угол α в градусах между силой и скоростью в момент времени, когда скорость точки V = 3 м/с, а касательное ускорение м/с².

Решение

Так как сила , то вектор силы совпадает по направлению с вектором полного ускорения, а скорость при движении по окружности направляется по касательной и совпадает с касательным ускорением, то угол α – это угол между касательным и полным ускорением.

; .

Ответ: .

 

Задача 4

Материальная точка массой m = 18 кг движется в горизонтальной плоскости по криволинейной траектории под действием силы Н. Определить радиус кривизны траектории в момент времени, когда скорость точки V = 4 м/с, а векторы скорости и силы образуют между собой угол .

Решение

Так как сила , то вектор силы совпадает по направлению с вектором полного ускорения, а скорость при движении по криволинейной траектории направляется по касательной и совпадает с касательным ускорением, то угол – это угол между касательным и полным ускорением.

; м/с²; ;

м.

Ответ: м.