Задачи. 1. Определить характер прямолинейного движения точки по заданному закону движения

1. Определить характер прямолинейного движения точки по заданному закону движения:

а) ; б) ; в) .

2. По данным предыдущего вопроса вычислите все кинематические характеристики движения точки для момента времени t = 2 c, приняв s в метрах.

3. Точка движется по окружности радиуса r = 4 м по закону (s – в метрах, t – в секундах). Найти модуль ускорения точки и угол между вектором ускорения и вектором скорости в тот момент , когда скорость равна 6 м /с.

4. Точка движется по окружности, радиус которой =200 м, с касательным ускорением . Определить угол в градусах между векторами скорости и полного ускорения точки в момент времени, когда её скорость .

5. По окружности радиуса движется точка согласно уравнению . Определить полное ускорение точки в момент времени .

Тема 1.8. Частные случаи движения точки.

1.8.1. Равномерное движение.

1.8.2. Равнопеременное движение.

1.8.1. Движение точки называется равномерным, если за любые равные промежутки времени точка проходит равные расстояния. Модуль скорости точки при этом движении . Отсюда следует, что при прямолинейном равномерном движении точки путь .

Если в начальный момент точка находилась не в начале отсчёта расстояний, а на некотором расстоянии от него, то расстояние точки от начала отсчёта в момент времени t будет равно

. (1.8.1.)

Это уравнение определяет закон равномерного движения точки.

Так как расстояние точки от начала отсчёта изменяется во времени по линейному закону, то графиком движения точки является прямая линия (рис. 1.8.1.). По графику движения точки можно найти не только расстояние точки от начала отсчёта, но и скорость этого движения (рис. 1.8.1.):

Так как при равномерном движении точки численное значение скорости постоянно, то графиком скорости равномерного движения будет прямая, параллельная оси времени (рис. 1.8.2.).

Если точка совершает криволинейное равномерное движение, то она имеет, как уже было сказано, только нормальное ускорение , где - радиус кривизны траектории. Если же точка совершает прямолинейное равномерное движение, то она вообще не имеет ускорения, т.е. .

1.8.2. Движение точки называется равнопеременным, если за равные, произвольно взятые промежутки времени модуль скорости точки изменяется на одну и ту же величину.

Изменение скорости точки по модулю характеризуется, как мы знаем, касательным ускорением. Отсюда следует, что при равнопеременном движении точки значение касательного ускорения . Поэтому, разделяя переменные в уравнении (1.7.4.) и интегрируя, получим формулу для скорости равнопеременного движения точки

, (1.8.2.)

где - модуль начальной скорости, т.е. скорости в момент времени t=0. Значение касательного ускорения будем считать положительным при ускоренном движении и отрицательным (касательное ускорение направленно в сторону, противоположную направлению начальной скорости) при замедленном движении. Если , то движение будет равнозамедленным до тех пор, пока скорость не сделается равной нулю.

Закон равнопеременного движения точки имеет вид:

. (1.8.3.)

Примером равнопеременного движения точки может служить движение тела по вертикали под действием силы тяжести. Из физики известно, что под действием постоянной силы тело получает постоянное ускорение. Если пренебречь сопротивлением воздуха и изменением силы тяжести в зависимости от высоты тела, то можно считать, что ускорение свободно падающего или брошенного вертикально вверх тела, обычно обозначаемое буквой g, постоянно. Ускорение это изменяется с изменением географической широты и высоты места над уровнем моря, но изменение это незначительно, и потому им обычно пренебрегают, принимая за ускорение свободно падающего тела g=9,81м/с². Полагая в формулах (1.8.2.) и (1.8.3.) ускорение = g и

S = h,получаем формулы для движения тела по вертикали под действием силы тяжести:

, (1.8.4.)

. (1.8.5.)

В этих формулах перед ускорением g надо брать знак плюс в случае свободного падения тела (равноускоренное движение) и знак минус для движения тела, брошенного вертикально вверх (равнозамедленное движение).

В случае, если тело начинает падать без начальной скорости, то и предыдущие формулы принимают вид

и .

Исключая из этих равенств время t, находим

Отсюда получается хорошо известная формула Галилея

, (1.8.6.)

где v — скорость тела при падении его без начальной скорости с высоты .

Так как формулы (1.8.4.), (1.8.5.) и (1.8.6.) выведены из условия движения тела в пустоте (при отсутствии сопротивления воздуха), то ими можно пользоваться в реальных условиях только в тех случаях, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, т.е. когда вес тела велик по сравнению с силой сопротивления воздуха, а высота невелика.

Задачи.

1. Расскажите, как двигалась точка, график скорости которой дан на рисунке.

2. Тело, двигаясь равнопеременно из состояния покоя 10 с, достигло скорости 50 м/с. Определить путь, пройденный телом за это время.

3. Торможение поезда, движущегося со скоростью 36 км/ч, начинается за 200 м до остановки. Считая движение поезда равнопеременным, найти время торможения и ускорение, получаемое поездом при торможении.

4. За какое время нужно остановить автомобиль, движущийся со скоростью 90 км/ч, если при быстром торможении ускорение равно – 6 м/с? Каков тормозной путь?