Признаки сравнения положительных числовых рядов

Положительные числовые ряды. Интегральный признак сходимости. Интегральная оценка суммы ряда.

Из МатАнализа:
Монотонно возрастающая и ограниченная СВЕРХУ функция имеет предел:

Рассмотрим положительную числовую последовательность , положительную числовую функцию a(x): a(x=n∊N)=a_n и соответствующие им числовой ряд и несобственный интеграл :

Теорема (интегральный признак сходимости/расходимости положительного ряда).

«Положительный числовой ряд :
(1) сходится и расходится одновременно с несобственным интегралом ,
(2) для сходящегося ряда имеют место
- «интегральная оценка» суммы его остатка и
- «интегральная оценка» суммы ряда

Док-во теоремы следует из сравнения на промежутках [1;n] и [n;∞) площадей криволинейной трапеции S_KT, ограниченной сверху линией у=а(х), n ≥ х ≥ 1, вписанной S_ВП и описанной S_ОП ступенчатых фигур, образованных прямоугольниками высотой a_К и шириной ∆х = 1:

[1;n]: S_ОП = a1+a₂+..+a_n-1 = S_n-1 > > S_ВП = a₂+a₃+..a_n = S_n - a₁, (1)
[n;∞): (2)

an-1

a1

x

an+1

an

a2

a(x)

n+1

n-1

n

 

 

 

Из монотонного возрастания функций S_n↑ и F(n) и неравенств (1) следует:

[1].

(а) если несобственный интеграл сходится , то

б) если же интеграл расходится , то

[2]. Пусть ряд сходится: Тогда из неравенств (2) следует:

- - «интегральная оценка СВЕРХУ суммы остатка положительного ряда» и
- - «интегральная оценка суммы ряда».

Признаки сравнения положительных числовых рядов.

Пусть
Если ; при сравнении рядов используют символ мажорирования
«>>» и пишут

 

Теорема1 (признак сравнения ). Если , то:
(1) из сходимости мажорирующего(«б’ольшего») ряда следует сходимость ряда и
(2) из расходимости мажорируемого(«меньшего») ряда следует расходимость ряда .

 

Док-во.

(1) Пусть ряд ,

(2) Если ряд ч.т.д.

 

Пример.

 

Признак 2 (предельный признак сравнения).

Если существует конечный предел отношения членов положительных рядов

- равносильные б. малые при n→∞),

ряды сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство следует из определения предела числовой последовательности и признака сравнения 1.

------------------------------------------------------------------------

Замечания.
1) Предельный признак сравнения и интегральный признак являются основным «инструментом» исследования сходимости и расходимости положительных рядов, общий член которых содержит только степенные функции: ;
2) Для установления отношения равносильности из суммы слагаемых рекомендуется вынести слагаемое с наибольшей степенью “n^max”.
3) При получении интегральной оценки суммы остатка ряда подынтегральную функцию можно
«преувеличить»:
например, увеличив числитель или уменьшив знаменатель дроби.
4) S_K округляется «по недостатку», а - «по избытку».

 

ПРИМЕР Доказать сходимость и найти оценку суммы ряда с погрешностью eps=0.001

Интеграл можно вычислить точно (см. Двайт 120.2). Для упрощения вычислений преувеличим оценку , увеличив числитель или уменьшивзнаменатель дроби:

Оценку с погрешностью «eps=0.001» получим, решив неравенство

1.3 Оценка суммы ряда

Результат: =