Особенности практического применения

Линейных множественных регрессионных моделей

Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости объясняющих переменных, т. е., решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы. Для экономических показателей это условие выполняется не всегда.

Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимнаякоррелированность объясняющих переменных (факторов), которая приводит к линейной зависимости нормальных уравнений. Существует несколько способов для определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности.Один из подходов заключается в анализе коэффициентов парной корреляции.

1. Факторные признаки, у которых исключают из модели.

2. Считают явление мультиколлинеарности в исходных данных установленным, если коэффициент парной корреляции между двумя переменными (факторами) больше 0,8. В этом случае одну переменную исключают из рассмотрения. При этом какую переменную оставить, а какую удалить из анализа, решают в первую очередь на основании экономических соображений. Если с экономической точки зрения ни одной из переменных нельзя отдать предпочтение, то оставляют ту из двух переменных, которая имеет больший коэффициент корреляции с зависимой переменной.

Пример 2.9. С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах проведены измерения уровня месячной зарплаты X и числа уволившихся за год рабочих Y:

X
Y

Найти линейную регрессию Y на X. Провести статистический анализ.

Решение

На рис.2.19 решена задача простой линейной регрессии. Для нахождения коэффициентов линейной регрессии использованы встроенные функции slope, intercept. Проведен сравнительный визуальный анализ расположения экспериментальных точек и полученной функциональной зависимости.

Рис. 2.19 Однофакторная линейная регрессия

Проведем статистический анализ (рис. 2.20).

1. Коэффициент корреляции равен (-0,904), следовательно, связь тесная и обратная. Коэффициент корреляции значим, т.е. зарплата оказывает существенное влияние на текучесть рабочей силы.

2. Полученное уравнение регрессии является значимым, т.е. для описания зависимой переменной достаточно одного фактора.

3. Коэффициент эластичности равен (-1,4), т.е. при увеличении зарплаты на 1% текучесть рабочей силы уменьшается в среднем на 1,4%.

4. Коэффициент детерминации равен 0,817, т.е. на 81,7% текучесть рабочей силы зависит от заработной платы и на 18,3% от других неучтенных факторов.

5. Ошибка аппроксимации составляет 24,6%. Следовательно, полученную функциональную зависимость не следует использовать для прогнозирования. Рекомендуется подобрать другую однофакторную модель регрессии (нелинейную).

Рис. 2.20. Статистический анализ

Пример 2.10. Имеются следующие данные о сменной добыче угля на одного рабочего Y (т), мощности пласта X 1(м) и уровне механизации работ X2 (%), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах. Предполагая, что между переменными Y, X 1 и X 2существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии Y по X 1 и X 2 ). Провести статистический анализ.

Решение

1.Матрицу А формируем объединением столбцов с элементами 1, Х 1, Х 2 с применением встроенной функции augment. По алгоритму получаем оценки параметров β, что позволяет составить уравнение двухфакторной линейной регрессии. Ошибка аппроксимации составляет 10,24%, что позволяет использовать полученное уравнение в прогностических целях.

Рис. 2.21. Вариант двухфакторной линейной регрессии

Уравнение множественной регрессии показывает, что при увеличении только мощности пласта Х 1 (при неизменном Х 2) на 1 м, добыча угля на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,854 т, а при увеличении только уровня механизации работ Х 2 (при неизменном Х 1) – в среднем на 0,367 т.

2. Проведем сравнение раздельного влияния на добычу угля двух факторов – мощности пласта Х 1 и уровня механизации работ Х 2. Для этого вычислим коэффициенты эластичности.

Рис. 2.22. Коэффициенты эластичности

Увеличение факторов на 1% (от своих средних значений) приводит в среднем к росту добычи угля соответственно на 1,18% и 0,34%. Таким образом, на добычу угля большее влияние оказывает фактор Х 1 (мощность пласта) по сравнению с фактором Х 2 (уровень механизации).

3. Определим множественный коэффициент корреляции и проверим его значимость и значимость полученного уравнения регрессии.

Рис. 2.23.Вычисление множественного коэффициента

корреляции

Значение , близкое к 1, указывает на тесную взаимосвязь переменной Y и факторов Х 1 и Х 2. Коэффициент детерминации свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменной на 83% объясняется изменчивостью включенных в модель факторов.

Проверим значимость коэффициента корреляции. Наблюдаемое значение tN принадлежит критической области, следовательно, гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности отвергаем.

Проверим значимость уравнения регрессии. Наблюдаемое значение FN принадлежит критической области, следовательно, гипотезу «уравнение регрессии ненадежно» отвергаем.

4. Мультиколлинеарность.