Расчет на прочность при нерегулярной переменной нагруженности

 

Определение долговечности при нерегулярном нагружении производится обычно по следующей схеме. На первом этапе устанавливаются характеристики уровня нагруженности детали или элемента конструкции в виде функции распределения амплитуд эксплуатационных напряжений. В наиболее общем случае широкополосного процесса схематизацию случайного процесса с целью построения функции распределения амплитуд напряжений, эквивалентных случайному процессу по степени усталостного повреждения, производят одним из известных методов: максимумов, экстремумов, размахов, полных циклов, «дождя» и др. Метод полных циклов, например, дает, как принято считать, наряду с методом «дождя» наиболее приемлемые результаты для оценки долговечности при нерегулярном нагружении. Полученные величины амплитуд напряжений располагают в возрастающем порядке, образуя вариационный ряд амплитуд. По величинам амплитуд напряжений и соответствующим ординатам наносят точки на график и проводят через эти точки линию. На основании анализа опытных данных, обработка осциллограмм случайного процесса весьма часто приводит к эмпирическим функциям распределения амплитуд напряжений существенно отличающихся от нормального или какого-либо другого из известных законов распределения. Теоретический закон распределения амплитуд напряжений зависит от метода схематизации эксплуатационных нагрузок и во многих случаях оказывается трудно определимым.

Расчет на прочность при нерегулярной переменной нагруженности предполагает использование той или иной гипотезы накопления повреждений.

Например, корректированная линейная гипотеза накопления усталостных повреждений имеет следующий вид:

(20.1)

где - количество циклов действия данной амплитуды переменных напряжений за срок службы N _0.5;

- долговечность до разрушения или до образования трещины заданного размера при действии амплитуды (определяется по кривой усталости детали);

- корректированная сумма повреждений при действии всех повреждающих амплитуд переменных напряжений.

Значение определяется в зависимости от вида функции распределения действующих напряжений по следующей формуле:

(20.2)

где - элементарная вероятность попадания амплитуд в бесконечно малый диапазон

(20.3)

, - функции распределения и плотности распределения действующих переменных амплитуд соответственно.

Профессором Когаевым В.П. получена формула для определения величины , которая зависит от особенностей спектра эксплуатационной переменной нагрузки:

(20.4)

где - максимальная амплитуда действующих напряжений; u – предел выносливости образца бесконечно большого диаметра или предельное повреждающее напряжение, принимаемое равным приблизительно половине предела неограниченной выносливости гладких лабораторных образцов стандартного размера:

(20.5)

(20.6)

Интегрирование в формуле (20.1) ведется по всем амплитудам вплоть до максимальной амплитуды действующего спектра или блока нагружения, превышающим предел неограниченной выносливости материала детали или элемента конструкции . Интегрирование в формуле (20.6) ведется по амплитудам, превышающим предельное повреждающее напряжение u. Схема расчета долговечности до разрушения иллюстрируется рисунком (Рис. 20.1).

 

Рис. 20.1. Схема к расчету долговечности при нерегулярном переменном нагружении

Окончательная формула для определения оценки среднего срока службы детали или долговечности до разрушения (образования трещины заданного размера) имеет на основании уравнений (20.1) - (20.6) следующий вид:

(20.7)

Таким образом, для определения средней долговечности при нерегулярном переменном нагружении необходимо, во-первых, знать функцию распределения действующих напряжений, которая оценивается по результатам анализа спектра эксплуатационной переменной нагрузки одним из известных методов схематизации (метод размаха, максимумов, полных циклов и т.п.), во-вторых, иметь кривую усталости детали при регулярном переменном нагружении. Это квантильная кривая (рис. 20.1) для определения долговечности, стоящей в знаменателе формулы (20.7).

Этого недостаточно для определения функции распределения долговечности при нерегулярном нагружении, которая представляет особый интерес в связи с необходимостью расчета гарантированного ресурса для ответственных деталей и элементов конструкций и сооружений. С этой целью для оценки долговечности при нерегулярном нагружении, соответствующей вероятности разрушения , в формуле (20.7) вместо медианной (p =0,5) долговечности должна использоваться долговечность (квантиль долговечности), соответствующая вероятности p, которая определяется по кривой усталости заданной вероятности разрушения (квантильной кривой усталости).

(20.8)

Рис. 20.2. График функции распределения долговечности до разрушения при нерегулярном переменном нагружении

При варьировании величиной p получим функцию распределения долговечности до разрушения при нерегулярном переменном нагружении, общий вид которой представлен на рисунке (Рис. 20.2)..

 

Пример.

Построить функцию распределения долговечности до разрушения детали из алюминиевого сплава при нерегулярном нагружении, заданном распределением амплитуд спектра эксплуатационной нагрузки в соответствии с законом Рэлея:

, (20.9)

где параметр s =30 МПа, максимальная амплитуда =100 МПа. Эта функция представлена на рисунке (Рис. 20.3)..

Пусть медианная кривая усталости детали при симметричном цикле имеет следующий вид:

(20.10)

где параметры и A равны соответственно 50 и 1000 МПа.

Для расчета медианы долговечности достаточно этих данных. Для построения всей функции распределения необходимо располагать также параметрами квантильных кривых усталости, то есть кривых усталости, построенных по параметру вероятности разрушения. Так как построение семейства таких кривых требует большого числа экспериментальных данных, что не всегда возможно при длительных усталостных испытаниях, в первом приближении для вычисления квантили долговечности при регулярном нагружении воспользуемся известным приближением функции распределения логарифма долговечности на основании нормального закона:

, (20.11)

где lg N _0.5 определяется по уравнению медианной кривой усталости, а среднее квадратическое отклонение примем постоянным и равным =0,15, что в первом приближении подтверждается большим числом экспериментальных данных усталостных испытаний деталей, элементов авиаконструкций и конструктивно подобных образцов из алюминиевых сплавов; - квантиль нормированного нормального закона распределения, соответствующая вероятности p. Тогда уравнение (20.8) для определения функции распределения ресурса при нерегулярном нагружении примет следующий вид:

, (20.12)

где . (20.13)

Рис. 20.3. Функция плотности распределения амплитуд спектра эксплуатационной нагрузки

 

Проведенный расчет функции распределения долговечности при нерегулярном переменном нагружении представлен в таблице 20.1.

В таблице 20.1 для примера представлен также расчет логарифма долговечности при той же нагруженности, но по степенному уравнению кривой усталости с нулевым значением предела неограниченной выносливости:

(20.14)

где параметр m =4, С =10^3,5. На рисунке (Рис. 20.4) построены графики этих функций на нормальной вероятностной бумаге.

, (20.15)

где . (20.16)

Отметим, что при расчете по уравнению (20.12) значение составило 0,283, а при расчете по уравнению (20.15) – 0,373. Кривые усталости для двух рассматриваемых в примере вариантов представлены на рисунке(Рис. 20.5).

 

Таблица 20.1. Расчет функции распределения логарифма долговечности при нерегулярном нагружении

P	0.01	0.05	0.1	0.2	0.3	0.5	0.7	0.8	0.9	0.95	0.99
(20.12)	5.74	5.842	5.896	5.962	6.01	6.089	6.167	6.215	6.281	6.335	6.437
(20.15)	6.45	6.552	6.607	6.673	6.72	6.799	6.878	6.925	6.991	7.046	7.148

 

Основой расчета долговечности при нерегулярной нагрузке, как видно из рассмотренных выше примеров, является обоснование уравнения кривой усталости детали при регулярном нагружении. Наиболее надежным способом обоснования такой кривой усталости являются прямые усталостные испытания натурных деталей с последующей статистической обработкой их результатов. Как показывают расчеты для достижения достаточной точности оценивания характеристик усталостных свойств при усталостных испытаниях требуется порядка 30-50 объектов, что в условиях натурных испытаний является практически нереальным.

 

Рис. 20.4. Расчетные функции распределения логарифма долговечности при нерегулярном нагружении по уравнениям(20.12) (линия 1), (20.15) (линия 2)

Рис. 20.5. Кривые усталости детали при симметричном нагружении, построенные

по уравнениям (20.12) (кривая 1), (20.15) (кривая 2)

 

Опыт показывает, что гипотеза линейного суммирования позволяет достаточно точно определить долговечность, если все амплитуды превышают предел выносливости материала детали и отсутствуют резкие всплески напряжений. Кроме того, опытами показано, что линейное суммирование повреждений подтверждается при монотонном увеличении амплитуд с ростом числа циклов, и действует иной закон накопления повреждений, если сначала приложить циклическую нагрузку с амплитудами, близкими к пределу текучести материала.

Таким образом, на долговечность существенно влияет история нагружения. Экспериментально установлено, что образец, нагруженный сначала циклическими напряжениями, меньшими предела выносливости, при дальнейшем повышении амплитуд малыми порциями показывает большую долговечность, чем исходная. В то же время предварительно перенапряжение образца циклическими напряжениями выше предела выносливости приводит к противоположным результатам. Однако вредное влияние перенапряжения начинает сказываться только после некоторого предельного числа циклов перенапряжения, зависящего от величины этих напряжений.

При случайном изменении амплитуд напряжений явления усталостного упрочнения и разупрочнения будут чередоваться и отчасти нивелироваться, что оправдывает в известной степени применение гипотезы накопления повреждений к таким нерегулярным режимам изменения напряжений.

Любой теоретический подход к проблеме долговечности конструкции при нерегулярном изменении напряжений требует экспериментальной проверки теоретических методов.

В настоящее время исследования проводятся по двум основным направлениям. Одно из них состоит в испытании непосредственно конструкций по программе нагружения, возможно ближе подходящей к экспериментально определенному спектру нагрузок.

Другое направление исследования состоит в испытании лабораторных образцов по различным ступенчатым программам циклического нагружения, в которых изменяется последовательность чередования нагрузок разной интенсивности с различным количеством циклов их действия. Исследуется влияние параметров нагрузки на долговечность образцов и полученные закономерности используются для оценки долговечности конструкций.