Будем считать, что работа, поведенная к газу, считается положительной, а работа, совершенная газом, - отрицательной

Изменение любого вида энергии равно разности этого вида энергии в положениях 1 - 2 и 1' - 2'. Поскольку движение уста­новившееся, и объем 1'-2 является общим для обоих положений, то изменение каждого вида энергии будет определяться раз­ностью ее количеств в малых объемах 1-1' и 2-2'. Нетрудно видеть, что масса газа в объемах 1-1' и 2-2' одинакова. Для упрощения выкладок примем, что она равна 1 кг. Будем счи­тать, что перемещения Δ х ₁ и Δ х ₂ малы и поэтому параметры га­за внутри каждого из этих объемов одинаковы.

Тогда

, .

Теплота, подведенная к газу, складывается из теплоты, подведенной к газу извне , и теплоты, возникающей за счет трения , т.е.

.

Работа складывается из внешней (эффективной) работы , подведенной к газу извне, работы силы давления р ₁ в сечении 1 и давления р₂ в сечении 2 и работы, которую совершает газ для преодоления сил трения .

Внешняя (эффективная) работа - это работа, сообщаемая га­зу (или получаемая от него) внешними источниками или потре­бителями механической энергии (турбина, компрессор, насос и др.). Она является результатом воздействия гидродинамиче­ских сил газового потока на тела, перемещающиеся в этом по­токе (например, лопатки турбины или компрессора).

Сила дав­ления р ₁ в сечении 1 совершает работу над выделенным объемом газа, поэтому она положительна:

,

а в сечении 2 газ в рассматриваемом объеме совершает работу против сил за счет своей энергии, поэтому она отрицательна:

.

Работа сил трения, возникающая в пристеночных пограничных слоях и отнимаемая от газового потока, переходит в эквивалентную ей теплоту трения q _трен, поступающую обратно в поток. Числено они равны, т.е. , поэтому компенсируют друг друга, не нарушая энергетический баланс в потоке газа.

Таким образом, .

Подставив выражения для , и в полученное выше уравнение баланса энергий, получим

.

Так как , то

.

Учитывая, что , окончательно имеем

.

Все величины в уравнении сохранения энергии отнесе­ны к 1 кг газу (Дж/кг). Это уравнение верно для любых рабо­чих тел при их стационарном движении как при наличии трения, так и без него.