Оценка статистических параметров с учетом закона распределения

Выяснение закона распределения обрабатываемых случайных величин не является самоцелью. Оно необходимо для обеспечения предметной содержательности (смысла) выборочных статистических параметров, оценки их точности и достоверности.

Согласие со стандартной статистической моделью –показатель однородности эмпирической выборки

Неоднородной (смешанной) является эмпирическая выборка, состоящая из случайных величин, распределенных по двум или более разным законам. Наглядное представление о такой смешанной совокупности дают сближенные и частично перекрывающие одна другую кучи песка.

Так данные о выработке могут быть неоднородными, включая сведения с разной организацией производственного процесса:

- в регламентированных (нормальных) условиях;

- с частичными простоями из-за отсутствия заготовок, отключений электроэнергии, выхода из строя оборудования и т.п.;

- при срочном выполнении заказов с увеличением продолжительности рабочего времени, дополнительном материальном стимулировании и т.п.

Подобная неоднородная совокупность, естественно, не адекватна стандартным статистическим моделям однородных распределений, хотя допускает вычисление общего среднего и других параметров. Но общее среднее, конечно, утрачивает смысл обобщающей оценки фактической выработки в регламентированных (нормальных) условиях, и ее некорректно сравнивать с действующей для этих условий нормой выработки.

Показателем однородности выборки является ее согласие со стандартной статистической моделью, что обеспечивает предметную содержательность (и смысл) вычисляемых статистических параметров.

Оценка генерального среднего при нормальном распределении данных

Если выборка данных подчиняется нормальному закону, то это, указывая на ее однородность и предметную содержательность выборочных параметров, обеспечивает наибольшую точность, надежность и простоту их оценки.

При нормальном распределении в силу его симметрии среднее, медиана и мода совпадают, а маловероятные большие отклонения (возможные выскоки) взаимно компенсируются и не смещают оценок.

Среднеквадратичная погрешность выборочного среднего в выборке объемом N со стандартом s определяется формулой:

Иными словами, выборочное среднее является случайной величиной, распределенной согласно предельной теореме по нормальному закону с математическим ожиданием, равным среднему , и стандартом .

Следовательно, оценка генерального среднего по выборочному среднему с доверительной вероятностью свыше 95% находится в пределах ±2 .

Оценка генерального среднего при асимметричном распределении данных

При оценке генерального среднего по данным, имеющим асимметричное распределение, возникают проблемы:

во-первых, асимметрия может быть вызвана неоднородностью выборки и оценка ее среднего вообще некорректна (не имеет смысла);

во-вторых, снижается точность и достоверность оценки среднего, поскольку она чувствительна к маловероятным большим отклонениям, некоторые из которых могут быть выскоками.

Симметризовать распределение и подобрать стандартную статистическую модель можно путем преобразования случайных величин.

При правосторонней асимметрии подходящим часто является преобразование исходных вариант х к у=lgx или у=lnx. Для них находится среднее m_y и стандарт s_y, используемые как параметры подбираемого нормального закона.

Если преобразованные варианты по обсуждавшимся критериям не противоречат нормальному распределению, то исходную выборку можно полагать подчиняющейся логарифмически нормальному закону, что указывает на ее однородность и предметную содержательность выборочного среднего . Однако его оценка непосредственно по исходным вариантам х, распределенным асимметрично, чувствительна к маловероятным большим отклонениям. Поэтому предпочтительнее оценка через выборочные статистики и .

По правилам преобразования случайных величин при у=lnx и

Оценка выборочного среднего является случайной величиной, поскольку является функцией случайных аргументов и . Их стандартные отклонения определяются формулами: и

Стандартное отклонение выборочного среднего , как функции случайных аргументов и , выражается через их стандартные отклонения:

Иными словами, выборочное среднее , подчиняющееся согласно предельной теореме нормальному закону, имеет указанное среднеквадратичное отклонение. Поэтому оценка генерального среднего с доверительной вероятностью свыше 95% находится в пределах ±2 .