Нормальное распределение. Широкое распространение нормального распределения объясняется тем, что случайная величина часто является суммой большого числа независимых слагаемых

Широкое распространение нормального распределения объясняется тем, что случайная величина часто является суммой большого числа независимых слагаемых, вклад каждого из которых невелик по сравнению со всей суммой. В этом случае при увеличении числа слагаемых распределение случайной величины, как доказывается в центральной предельной теореме, сходится к нормальному закону. Он именуется также Гауссовым, а описывающая его функция и кривая иногда носят название Муавра-Лапласа. Примерами нормально распределенных случайных величин являются: отклонения броуновской частицы на прямой, как суммы множества небольших разнонаправленных смещений; суммы дневных выручек в торговой сети из ряда торговых точек, не слишком различающихся по товарообороту.Кривые плотности вероятностей нормального распределения имеют симметричный колоколообразный облик с ветвями, спадающими до 0 при бесконечном удалении в положительном и отрицательном направлениях (рис. 3).

Математическая модель имеет вид:

,

где: m – математическое ожидание и s² – дисперсия.

Смысл параметров распределения m и s понятен из рис. 11: первый из них определяет местоположение кривой f(x) на оси х, второй – горизонтальную и вертикальную амплитуды. Площадь между кривой f(x) и осью х во всех случаях постоянна и составляет 1 – достоверную вероятность принятия случайной величиной одного из значений на оси х. Почти вся эта площадь (свыше 95%) находится в пределах ±2s относительно m. Иными словами, случайная величина, подчиненная нормальному закону, колеблется около математического ожидания с амплитудой, практически не превышающей ±2s. Коэффициент асимметрии и эксцесс нормально распределенной случайной величины равны нулю, что используется, как критерий непротиворечия нормальному закону.

Логарифмически нормальное распределение

В выборках с большой асимметрией нормальному закону часто подчиняются не сами случайные величины, а их логарифмы. Распределение случайной величины, логарифм которой описывается нормальным законом, называется логарифмически нормальным (логнормальным).

Возникновение логарифмически нормального распределения экономических данных объясняется их формированием в мультипликативном процессе. В нем каждый из множества воздействующих факторов усиливает влияние других, т.е. составные элементы экономического показателя, формируемого в мультипликативном процессе, не складываются, а перемножаются.

Например, выработка является произведением производительности труда на чистое рабочее время. Производительность труда, в свою очередь, можно представить, как произведение ряда технических параметров используемых механизмов на показатели эффективности их использования. Чистое рабочее время подсчитывается, как доля производительного времени (без простоев), которое является частью общего рабочего времени. В итоге выработка сводится к произведению многих случайно изменяющихся сомножителей, которые уменьшают или увеличивают ее не на сколько-нибудь, а во сколько-то. Но логарифм выработки определяется суммой логарифмов многих случайно изменяющихся сомножителей.

Поэтому логарифм выработки, как суммы слабо зависимых случайных величин, сходится к нормальному распределению в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей. Кроме того, логарифмирование приводит к более подходящей (положительной) области возможных значений и симметризует распределение самой выработки. Т.е. по своей сущности и формальным признакам логарифмы выработки подчиняются нормальному, а сама выработка – логарифмически нормальному закону.

Для статистической обработки по логарифмически нормальному закону от значений исходных вариант х необходимо перейти к у=lgx или у=lnx, вычислить для них среднее m_y и стандарт s_y в качестве параметров нормального закона. В математическое выражение f(x), вместо х, подставляется у, m заменяется на m_y, s – на s_y. На графиках величина у откладывается по оси абсцисс.

Вместе с тем, даже при согласии случайных величин х с логарифмически нормальным законом, степени (числа) m_y и s_y не тождественны m и s и не могут их заменять. Оценки m и s случайной величины, распределенной логарифмически нормально, находятся с использованием m_y и s_y по рассматриваемым далее правилам преобразования распределения случайной величины.