Основное уравнение неравномерного движения

Рассмотрим участок русла длиной l и уклоном дна I_o, вода в котором движется в условиях неравномерного плавноизменяющегося движения, образуя вогнутую кривую подпора (рис. 1 – 2).

Для сечений 1-1 и 2-2 напишем уравнение Бернулли, проведя плоскость сравнения о - о через нижнюю точку сечения 2 - 2:

В нашем случае для плавноизменяющегося движения воды в открытом русле (точки сечений, в которых определяется удельная потенциальная энергия, берем на свободной поверхности):

где - потери напора на трение по длине потока.

Учитывая, что гидравлический уклон (в нашем случае - уклон трения)

,

потери напора на трение выразим в виде .

При плавноизменяющемся движении воды и малых значениях длины участка величину гидравлического уклона, характеризующего потери напора на трение, отнесенные к единице длины, можно выразить через формулу Шези для равномерного движения жидкости, , откуда

.

Здесь - характеристики потока, отвечающие равномерному движению воды на участке длиной l при средней глубине потока

.

С учетом последнего выражения зависимость для определения потерь энергии на трение получает вид:

.

Подставив соответствующие выражения в уравнение Бернулли, получим

,

или

.

Заменив скорости через расход Q и площади живых сечений w₁, w₂, и w_ср, получим

.

Полученное уравнение называется основным уравнением неравномерного плавноизменяющегося движения жидкости.

При заданном расходе Q, известной форме призматического русла, а также уклоне дна I_o и коэффициенте шероховатости n это уравнение связывает между собой три переменных (по длине потока) величины: глубины потока h₁ и h₂ на границах участка и длину участка l. Если известны две из них, из основного уравнения можно определить третью. Например, если известна глубина потока в конце участка h₂ и длина участка l, то методом подбора можно определить глубину потока h₁ в начале участка. (Напомним, что при заданной форме призматического русла площадь живого сечения w является однозначной функцией глубины h). Однако, если известны глубины h₁ и h₂, то длина участка l определяется из основного уравнения непосредственно:

.

Используя последнее уравнение, можно приближенно по точкам построить кривую свободной поверхности. Если известны глубины потока в начале и в конце участка h₁ и h₂, то, задаваясь несколькими промежуточными значениями глубин h_а, h_б, h_в (рис. 1 – 3), вычисляют расстояния между парами промежуточных глубин и по полученным точкам строят кривую свободной поверхности. При этом точность вычислений повышается с увеличением числа промежуточных точек. Хотя при этом возрастает объем вычислений, при современной вычислительной технике это не является проблемой.