Ударные волны, как одно из важных проявлений сжимаемости газа

Математически уравнения идеальной гидромеханики допускают разрывные решения, т.е. решения, которые имеют скачки параметров газа (плотности, давления, скорости и температуры). Одним из таких проявлений в природе является образование ударной волны около летящего со сверхзвуковой скоростью тела в плотных слоях атмосферы Земли. Например, образование ударной волны около летающих сверхзвуковых самолетов или ударных волн около метеоритов, вторгающихся в плотные слои атмосферы Земли с большими сверхзвуковыми скоростями. Известно, что около пассажирских самолетов, летающих главным образом с дозвуковыми скоростями, никакие ударные волны не образуются.

Пусть есть сферическое тело радиуса R (рис. 4.7), которое летит в воздухе со сверхзвуковой скоростью. Тогда впереди такого тела образуется ударная волна В, являющаяся границей между областями 1 и 2, которые отличаются значениями параметров газа. В системе координат, связанной с летящим телом, поток газа набегает на покоящееся тело. Пусть ось Оx направлена вдоль скорости потока, а V ₁, p ₁, r₁ и T ₁ – скорость, давление, плотность и температура, соответственно, в невозмущенном телом потоке газа (до ударной волны). В область 1 возмущения от тела не попадают, поскольку тело движется со сверхзвуковой скоростью. Так как скорость газа в лобовой точке тела А обращается в нуль, то от точки А до точки С на ударной волне есть область дозвуковой скорости газа, которой достигают возмущения воздуха от летящего тела.

Физический смысл образования ударной волны и заключается в разделении невозмущенного и возмущенного потоков газа. Если через V ₂, p ₂, r₂ и T ₂ обозначить скорость, давление, плотность и температуру газа соответственно сразу же после ударной волны В, то справедливы неравенства

V ₂ < V ₁, p ₂ > p ₁, r₂ > r₁, T ₂ > T ₁.

Рис. 4.7.

B – головная ударная волна, А – критическая точка на теле, в которой скорость обращается в нуль, С – точка на ударной волне и на оси симметрии Ox, 1 и 2 – области течения перед и за ударной

Это означает, что скорость за ударной волной уменьшается, а давление, плотность и температура возрастают. Сильным возрастанием температуры за ударной волной и объясняется оплавление возвращающихся на Землю космических аппаратов и метеоритов, вторгающихся в атмосферу с большими сверхзвуковыми скоростями.

Такие ударные волны называются ударными волнами сжатия (плотность газа возрастает). Интересно, что в природе никогда не наблюдались ударные волны разрежения, в которых плотность падает. Математически образование ударных волн разрежения запрещается известной в гидроаэромеханике теоремой Цемплена.

Соотношения между параметрами с индексами «1» и «2» можно получить из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии, поскольку они справедливы и для разрывных функций.

Такие соотношения называются соотношениями Гюгонио и имеют вид (в системе координат, связанной с ударной волной)

r₁ V_n1 = r₂ V_n2;

r₁ V_n1V₁ + p₁ n = r₂ V_n2V₂ + p₂ n;

[r₁ V₁²/2 + p₁ g/(g – 1)]V_n1 = [r₂ V₂²/2 + p₂g/(g – 1)]V_n2. (4.10)

Вместе с уравнением состояния эти соотношения позволяют определить значения параметров газа за ударной волной (индекс «2») по значениям параметров невозмущенного ударной волной потока газа (индекс «1»).

Зависимость между плотностью газа и давлением после и до скачка уплотнения выражается уравнением

. (4.11)

Эта зависимость называется ударной адиабатой, или адиабатой Гюгонио.