Раздел 3. Интегральное исчисление

Задания для самоконтроля

1.Вычислите неопределенные интегралы:

а) = =

б) =

 

Таким образом,

=

Обычно все произвольные постоянные суммируют, результат обозначают одной буквой

С = , поэтому окончательно получаем

=

в) Интеграл табличный, поэтому можно переходить к непосредственному вычислению

 

г) Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как , то умножив подынтегральное выражение на , получим

= = = =

 

д) Сделаем подстановку . Найдем дифференциал от обеих частей подстановки:

Следовательно,

=

Заменив t его выражением из подстановки, получим

=

 

е) Полагая

найдем

По формуле интегрирования по частям получаем:

=

 

ж) Положим , тогда , или .

Следовательно,

=

 

з) Положим

 

Тогда

Следовательно,

2. Вычислите определенные интегралы:

а) =

 

б)

.

 

в) = .

 

г)

.

д) .

 

е) = .

ж)

 

з) Применяя формулу понижения степени, получаем

,

 

где = .

Следовательно, ,

 

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , , , .

Построим линии, ограничивающие фигуру.

– парабола, симметричная относительно оси о у, вершина (0;1).

– прямая, проходящая через точку (2;0), параллельная оси о у.

– аналитическое выражение оси о х.

– аналитическое выражение оси о у.

Построенная фигура является криволинейной трапецией с основанием на оси ох, поэтому её площадь вычисляется по формуле

.

, , .

Тогда (кв. ед.).

 

б) , , , .

Построим линии ограничивающие фигуру.

– прямая; если , то ,

если , то .

Прямая проходит через точки (0; 4), (8; 0).

– прямая, параллельная оси о х.

– прямая, параллельная оси о х.

– ось о у.

Фигура является криволинейной трапецией с основанием на оси о у, поэтому .

Тогда (ед²).

 

в) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Построим линии ограничивающие фигуру.

- парабола, симметричная относительно оси OY.

Т.к. , то вершина .

Координаты вершины также можно определить по формуле

- ось OX.

Найдем координаты точек пересечения графиков (рис.9) функций.

Т.о. , на этом отрезке функция , поэтому .

.

Тогда (ед²).

 

г) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Построим линии, ограничивающие фигуру.

– парабола, симметричная относительно оси о у, вершина (0;0).

– прямая, если , то ,

если , то .

Найдём точки пересечения линий:

Т.о.

.

 

(ед²).

 

Приложение 1

к УМП по дисциплине

«____________________»