Ответы на задания для самоконтроля

31 32 33 34 35 36 37

Вычислить пределы

а) .

Функция f(x) непрерывна в точке x = –1, .

Ответ: . ⁪

б) .

Введем новую переменную t = x –(–1) = x +1, при x → –1 t →0, x = t – 1.

Ответ: . ⁪

в) .

Введем новую переменную t = x –π, t →0, x = t +π.

Ответ: .

г) .

Неопределенность вида . Выносим бесконечно большую величину x под корнем.

Ответ: . ⁪

д)

Неопределенность вида

Ответ:

е) .

Неопределенность вида .

Ответ: .

ж)

Применить теорему о пределе дроби (частного) нельзя, т.к. при х ®0

lim (5 х ³ – 3 х ²)=0

До перехода к пределу следует упростить данную дробь:

Предел знаменателя

-3 ¹ 0

Применяя теперь теорему о пределе дроби (частного), получим:

Ответ:

з)

Ответ: 0.

и) Найти

Числитель и знаменатель дроби превращаются в бесконечность, а их отношение не имеет смысла. Поэтому преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень аргумента, т.е. на х³.

Ответ: .

к)

Применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю.

Перепишем данное выражение так:

Применяя формулу ,

получим:

Ответ: 4.

л)

Решение. применить теорему о пределе частного нельзя, т.к. при х =5 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Перепишем данную дробь в виде

Переходя к пределу, получим:

Ответ.

м)

н)

о)

п)

р)

2. Исследовать непрерывность в точке х = 0 заданной функции: .

Решение:

В точке x =0 функция y = f (x) непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности

3. Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение:

1) Под прицел попадает единственная точка в которой функция не определена.

2) Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.

Как выглядит график данной функции?

Хочется провести упрощение и вроде бы получается обычная парабола. но исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка: