double arrow

ОТВЕТЫ НА ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

Вычислить пределы

а) .

.

Функция f(x) непрерывна в точке x = –1, .

Ответ: . 

б) .

.

Введем новую переменную t = x –(–1) = x +1, при x → –1 t →0, x = t – 1.

Ответ: . 

в) .

.

Введем новую переменную t = x –π, t →0, x = t +π.

.

Ответ: .

 

г) .

Неопределенность вида . Выносим бесконечно большую величину x под корнем.

Ответ: . 

д)

Неопределенность вида

Ответ:

 

е) .

Неопределенность вида .

Ответ: .

 

ж)

Применить теорему о пределе дроби (частного) нельзя, т.к. при х ®0

lim (5 х 3 – 3 х 2)=0

До перехода к пределу следует упростить данную дробь:

Предел знаменателя

-3 ¹ 0

Применяя теперь теорему о пределе дроби (частного), получим:

Ответ:

з)

Ответ: 0.

и) Найти

Числитель и знаменатель дроби превращаются в бесконечность, а их отношение не имеет смысла. Поэтому преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень аргумента, т.е. на х3.

Ответ: .

 

к)

Применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю.

Перепишем данное выражение так:

.

Применяя формулу ,

получим:

Ответ: 4.

 

л)

Решение. применить теорему о пределе частного нельзя, т.к. при х =5 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Перепишем данную дробь в виде

,

Переходя к пределу, получим:

Ответ.

 

м)

 

н)

о)

п)

р)

2. Исследовать непрерывность в точке х = 0 заданной функции: .

Решение:


В точке x =0 функция y = f (x) непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности

 

3. Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.

Решение:

1) Под прицел попадает единственная точка в которой функция не определена.

2) Вычислим односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и равны.

Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.

Как выглядит график данной функции?

Хочется провести упрощение и вроде бы получается обычная парабола. но исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:

,

Выполним чертёж:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.

 



Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: