Вычислить пределы
а) .
.
Функция f(x) непрерывна в точке x = –1, .
Ответ: .
б) .
.
Введем новую переменную t = x –(–1) = x +1, при x → –1 t →0, x = t – 1.
Ответ: .
в) .
.
Введем новую переменную t = x –π, t →0, x = t +π.
.
Ответ: .
г) .
Неопределенность вида . Выносим бесконечно большую величину x под корнем.
Ответ: .
д)
Неопределенность вида
Ответ:
е) .
Неопределенность вида .
Ответ: .
ж)
Применить теорему о пределе дроби (частного) нельзя, т.к. при х ®0
lim (5 х 3 – 3 х 2)=0
До перехода к пределу следует упростить данную дробь:
Предел знаменателя
-3 ¹ 0
Применяя теперь теорему о пределе дроби (частного), получим:
Ответ:
з)
Ответ: 0.
и) Найти
Числитель и знаменатель дроби превращаются в бесконечность, а их отношение не имеет смысла. Поэтому преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень аргумента, т.е. на х3.
Ответ: .
к)
Применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю.
|
|
Перепишем данное выражение так:
.
Применяя формулу ,
получим:
Ответ: 4.
л)
Решение. применить теорему о пределе частного нельзя, т.к. при х =5 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Перепишем данную дробь в виде
,
Переходя к пределу, получим:
Ответ.
м)
н)
о)
п)
р)
2. Исследовать непрерывность в точке х = 0 заданной функции: .
Решение:
В точке x =0 функция y = f (x) непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности
3. Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.
Решение:
1) Под прицел попадает единственная точка в которой функция не определена.
2) Вычислим односторонние пределы:
Односторонние пределы конечны и равны.
Таким образом, в точке функция терпит устранимый разрыв.
Как выглядит график данной функции?
Хочется провести упрощение и вроде бы получается обычная парабола. но исходная функция не определена в точке , поэтому обязательна следующая оговорка:
,
Выполним чертёж:
Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , в которой она терпит устранимый разрыв.