Случай нескольких самосогласованных решений

В рассмотренной выше модели Андерсона уединенной примеси электроны были локализованы на узле. Это значит, что параметр V, отвечающий за перескоки электронов с узла на узел, был равен нулю. В общем случае, когда в системе несколько атомов, расположенных недалеко друг от друга, это не так. Модель, учитывающая d-d-взаимодействия в периодической структуре носит название периодической модели Андерсона. В этом случае, для ОЦК решетки, функция Грина для электронов с проекцией спина σ будет равна:

Тогда плотность состояний представляет собой суперпозицию двух лоренцевских контуров:

Рис. 6. Плотность состояний в случае периодической модели Андерсона.

Проинтегрировав это выражение, получим число электронов для ОЦК решетки:

Была разработана программа, которая находит все возможные магнитные решения при заданных параметрах модели. В этой программе число частиц с проекцией спина σ задано явно формулой (3), а число частиц проекцией спина –σ задается обратной функцией, которая строится одной из подпрограмм. После построения обратной функции рассматривается разность этих двух функций и, таким образом, находятся точки пересечения графиков и . Число магнитных решений, при увеличении параметра U/Г меняется от одного до пяти. При этом одно из решений, лежащее на оси симметрии, всегда является парамагнитным. Остальные решения являются симметричными относительно прямой и дают одинаковое по модулю значение магнитного момента.

(а)

(б)

Рис. 7. Магнитные решения в случае периодической модели Андерсона для параметров:

а) , (

б) , (

Зная все возможные магнитные решения можно построить зависимость магнитного момента от числа электронов. При малых значениях параметра кулоновского взаимодействия имеется две области магнитных решений, где каждому значению числа электронов соответствует лишь одно магнитное решение (Рис. 8). При достижении параметром U определенного критического значения появляется еще одна изолированная область вблизи N=5, где возможны два значения магнитного момента при определенном числе электронов (Рис 9). Дальнейшее увеличение параметра кулоновского взаимодействия приводит к тому, что две области сливаются и становится возможным ситуация, когда существуют три магнитных решения при одном значении числа электронов (Рис. 10). Заметим также, что все графики симметричны относительно N=5. Это означает, что система инвариантна относительно замены электронов дырками.

Рис. 8. Зависимость M(N) для U/Г=9

Рис. 9. Зависимость M(N) для U/Г=10

Рис. 10. Зависимость M(N) для U/Г=11

Параметр V/Г, отвечающий за перескоки электронов с узла на узел оказывает сильное влияние на величину критического значения U/Г при котором возникает изолированная область вблизи N=5. Чем меньше значение V/Г, тем меньшее требуется значение кулоновского взаимодействия для возникновения такой области.

Мы показали, что при определенном значении числа электронов возможно несколько решений. В связи с этим, во всех расчетах, используемых при изучении магнитных структур, необходима проверка на существование других, энергетически более выгодных, магнитных решений. Энергия состояния может быть вычислена по формуле:

На рис. 11 и рис. 12 показаны зависимости магнитного момента энергии и ферромагнитного состояния по сравнению с парамагнитным от числа электронов при фиксированном параметре U/ Г и различном V/Г. Из них видно, что при уменьшении V/Г для возникновения изолированной области вблизи N=5 требуется меньшее значение U/ Г.

Рис. 11. Зависимость магнитного момента и энергии ферромагнитного состояния по отношению к парамагнитному от числа электронов в ОЦК решетке для параметров: V/Г = 0.8, U/Г = 8.

Рис. 12. Зависимость магнитного момента и энергии ферромагнитного состояния по отношению к парамагнитному от числа электронов в ОЦК решетке для параметров: V/Г = 0.6, U/Г = 8.

Разработанная программа позволяет, также, строить карту энергий (рис. 13), которая представляет собой зависимость магнитного момента от числа частиц при разных значениях параметров U/Г и V/Г. Каждое решение окрашено в свой цвет: чем ниже значение энергии соответствующего магнитному решению, тем темнее будет цвет на графике

Рис. 12. Карта энергий для V/Г = 0.8

U/Г	9.5	10.5

	11.5

Рис. 12. Карта энергий для U/Г = 8

V/Г

0.4

0.6

0.8

1.2

Рис. 12. Карта энергий для U/Г = 12

V/Г	0.4	0.5	0.6	0.7

	0.8	0.9

Таким образом, построенные диаграммы для ОЦК систем позволяют предсказывать появление или исчезновение магнитных свойств в материале при изменении числа электронов в нем (например с помощью добавления в сплав материала с большим или меньшим числом электронов, изменения температуры, давления и т.д.)

Заключение

В результате проделанной работы было показано, что в периодической модели Андерсона возможно существование нескольких решений с одним и тем же значением числа частиц и разным значением магнитного момента. Был разработан алгоритм и написана программа, позволяющая находить весь набор решений. Показано, что с помощью добавления к металлу примесей с большим или меньшим числом электронов в зоне проводимости можно менять их магнитные свойства, вызывая переходы между разными магнитными состояниями, причем малое изменение концентрации может приводить к скачкам намагниченности (т.е. возникает магнитный фазовый переход первого рода). Разработанный алгоритм позволяет поводить расчеты решений не только для ферромагнитного состояния, но и для других магнитоупорядоенных состояний (антиферромагнитном, неколлинеарном и др.)

Список литературы

1. С.В. Вонсовский. «Магнетизм», М., «Наука», 1982

2. Мория Т. Спиновые флуктуации в магнетиках с коллективизированными электронами. М.: Мир, 1988.

3. Левитин Р.З. Магнетизм коллективизированных электронов – Соросовский образовательный журнал, №6, c. 101 (1997).

4. П.А. Грюнберг, Нобелевские лекции по физике -2007. От спиновых волн к гигантскому магнетосопротивлению и далее, УФН, 178, 1349 (2008).

5. А. Ферт,Нобелевские лекции по физике -2007. Происхождение, развитие и перспективы спинтроники, УФН, 178, 1336 (2008).

6. Anderson P. W. “Localized magnetic states in metals”, Phys. Rev., 124, 41 (1961)

7. Андерсон Ф. “Локализованные моменты и локализованные состояния”, УФН, 127, 19-39 (1979)

8. Уайт Р. “Квантовая теория магнетизма”, М.: Мир, 1985, 304 с.

Приложение

clc

clear

count_par=1;

t=0.001;

xmin = -1;

xmax=1;

eps = 0.0001;

x=xmin:t:xmax;

UG=10;

VG=1;

EGmin=-15;

EGmax=10;

EGt=0.05;

EG=EGmin:EGt:EGmax;

count=1;

for i=1:1:(length(EG))

y1=y_param(x,UG,VG,EG(i));

pointsx=0;

pointsy=0;

k=1;

yres=zeros(1,length(y1));

flaq=0;

for j=1:1:(length(y1))

if (j > 1)

flaq=1;

end;

g_res=g(x(j),xmin,xmax,eps,UG,VG,EG(i));

yres(j)=(g_res-y1(j));

if (flaq==1)

if((yres(j-1)<=0 && yres(j)>0 && abs(x(j)-y_param(g_res,UG,VG,EG(i))<=2*eps)) || (yres(j-1)>=0 && yres(j)<0 && abs(x(j)-y_param(g_res,UG,VG,EG(i))<=2*eps)))

pointsx(k)=(x(j)+x(j-1))/2;

pointsy(k)=(y1(j)+y1(j-1))/2;

k=k+1;

end;

end

if(length(pointsx)>1)

for p=1:1:length(pointsx)

if ((2*p-1) ~= length(pointsx))

M(count)=pointsy(p)-pointsx(p);

N(count)=pointsy(p)+pointsx(p);

EGG(count)=EG(i);

count=count+1;

end

e1=0.00001;

for i=1:1:length(N)

is_more=0;

EG_par=EGmin;

eps_par=0.5;

flq=0;

eps1=0.005;

while (flq==0)

y1=y_param(x,UG,VG,EG_par);

for j=1:1:length(y1)

if(abs(y1(j)-x(j))<=eps1)

N_par=2*y1(j);

break

end

if((N_par-N(i))>e1)

if(is_more==0)

eps_par=eps_par/2;

EG_par=EG_par+eps_par;

else

EG_par=EG_par+eps_par;

end

is_more=1;

else

if((N_par-N(i))<(-e1))

if(is_more==1)

eps_par=eps_par/2;

EG_par=EG_par-eps_par;

else

EG_par=EG_par-eps_par;

end

is_more=0;

end

if(EG_par<EGmin || EG_par>EGmax)

disp('Epic fail');

break;

end

if(abs(N_par-N(i))<e1)

flq=1;

end

WG(i)=W(M(i),N(i),UG,VG,EGG(i))-W(0,N_par,UG,VG,EG_par);

end

figure(6)

plot(N,WG,'.k');

grid on;

figure(5)

a=plot(N*5,abs(M*5),'.k');

clc

clear

t=0.001;

xmin = -1;

xmax=1;

eps = 0.0001;

x=xmin:t:xmax;

UG=9;

VG=0.8;

EGmin=-15;

EGmax=10;

EGt=0.05;

EG=EGmin:EGt:EGmax;

for e=0:0.1:3

UG=UG+e;

count=1;

for i=1:1:(length(EG))

y1=y_param(x,UG,VG,EG(i));

pointsx=0;

pointsy=0;

k=1;

yres=zeros(1,length(y1));

flaq=0;

for j=1:1:(length(y1))

if (j > 1)

flaq=1;

end;

g_res=g(x(j),xmin,xmax,eps,UG,VG,EG(i));

yres(j)=(g_res-y1(j));

if (flaq==1)

if((yres(j-1)<=0 && yres(j)>0 && abs(x(j)-y_param(g_res,UG,VG,EG(i))<=2*eps)) || (yres(j-1)>=0 && yres(j)<0 && abs(x(j)-y_param(g_res,UG,VG,EG(i))<=2*eps)))

pointsx(k)=(x(j)+x(j-1))/2;

pointsy(k)=(y1(j)+y1(j-1))/2;

k=k+1;

end;

end

if(length(pointsx)>1)

for p=1:1:length(pointsx)

if ((2*p-1) ~= length(pointsx))

M(count)=pointsy(p)-pointsx(p);

N(count)=pointsy(p)+pointsx(p);

count=count+1;

end