Непрерывно-детерминированные модели

(D -СХЕМЫ)

 

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного под­хода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функ­ции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные — функции многих переменных, то уравнения называ­ются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравне­ниями.

Основные соотношения. Обычно в таких математических моде­лях в качестве независимой переменной, от которой зависят неиз­вестные искомые функции, служит время t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем (2.6) в общем виде будет

(2.7)

где , и — n -мерные векторы; — вектор-функция, которая определена на некото­ром -мерном множестве и является непрерывной.

Так как математические схемы такого вида отражают динамику изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называют­ся D-схемами (англ. dynamic) [4, 37].

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравне­ние имеет вид

(2.8)

Наиболее важно для системотехники приложение D-схем в каче­стве математического аппарата в теории автоматического управле­ния. Для иллюстрации особенностей построения и применения D-схем рассмотрим простейший пример формализации процесса фун­кционирования двух элементарных систем различной физической природы: механической (колебания маятника, рис. 2.1, а) и электрической (колеба­тельный контур, рис. 2.1, б).

Процесс малых колебаний маятника описывается обыкновенным дифференциальным уравнением

где , — масса и длина подвеса маят­ника; g — ускорение свободного падения; — угол отклонения маятника в момент времени t.

Из этого уравнения свободного колебания маятника можно найти оценки интересующих характеристик. Например, период ко­лебания маятника

Аналогично, процессы в электрическом колебательном контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением

где , — индуктивность и емкость конденсатора; q(t) — заряд конденсатора в момент времени t.

Из этого уравнения можно получить различные оценки харак­теристик процесса в колебательном контуре. Например, период характеристических колебаний

Очевидно, что, введя обозначения , , , , получим обыкновенное дифферен­циальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

(2.9)

где , , —параметры системы; z (t)— состояние системы в момент времени t.

Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели (2.9). Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы )может быть изучено с помощью электричес­кого колебательного контура (системы ).

Если изучаемая система S, т. е. маятник или контур, взаимодей­ствует с внешней средой E, то появляется входное воздействие x (t) (внешняя сила для маятника и источник энергии для контура)и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид

С точки зрения общей схемы математической модели (см. § 2.1) x (t)является входным (управляющим) воздействием, а состояние системы S в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т. е. полагать, что выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени y=z.

Возможные приложения. При решении задач системотехники важное значение имеют проблемы управления большими система­ми. Следует обратить внимание на системы автоматического управления — частный случай динамических систем, описывае­мых D-схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практической специфики [24, 43].

Описывая процессы автоматического управления, придержива­ются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой (объекта управления). Структура мно­гомерной системы автоматического управления общего вида пред­ставлена на рис. 2.2, где обозначены эндогенные переменные: — вектор входных (задающих) воздействий; — вектор воз­мущающих воздействий; — вектор сигналов ошибки; — вектор управляющих воздействий; экзогенные перемен­ные: — вектор состояний системы S; — вектор выходныхпеременных, обычно .

Современная управляющая система — это совокупность про­граммно-технических средств, обеспечивающих достижение объек­том управления определенной цели. Насколько точно объект упра­вления достигает заданной цели, можно судить для одномерной системы по координате состояния .Разность между заданным и действительным законами изменения управляемой величины есть ошибка управления .Если пред­писанный закон измене­ния управляемой величи­ны соответствует зако­ну изменения входного (задающего) воздейст­вия, т. е. то .

Системы, для кото­рых ошибки управления во все моменты времени, называются идеальными Рис 2.2. На практике реализация идеальных систем невозможна. Таким образом, ошибка — необходимый субстрат автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответст­вие выходной переменной ее заданному значению используется информация об отклонении между ними. Задачей системы автома­тического управления является изменение переменной согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошиб­кой). При проектировании и эксплуатации систем автоматического управления необходимо выбрать такие параметры системы S, кото­рые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устой­чивость системы в переходном процессе.

Если система устойчива, то представляют практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регулиру­емой переменной в переходном процессе, время переходного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического упра­вления различных классов можно сделать по виду дифференциаль­ных уравнений, приближенно описывающих процессы в системах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициен­тов полностью определяются статическими и динамическими пара­метрами системы S.

 

Пример 2.1. Рассмотрим одноканальную систему автоматического управления , которая описывается D-схемой общего вида

(2.10)

где и — производные по времени m -го и n -го порядков от функции х и у соот­ветственно. Пусть система , описываемая уравнением (2.10), работает в некотором режиме, характеризуемом функциями н .Обозначим малые отклонения от через , a от через , т. е. , .

Тогда уравнение (2.10) можно линеаризовать, разложив функцию в ряд Тейлора и ограничившись его линейными членами от­носительно приращений и т. е.

(2.11)

Так как полученное уравнение (2.11) приближенно описывает рассматриваемый процесс, то производные вычисляют при некоторых фиксированных значениях вхо­дящих в него переменных, т. е. получается система с постоянными коэффициентами. Кроме того, уравнения получаются линейными относительно , и их произ­водных. Это весьма существенно, так как методы решения и исследования линей­ных систем значительно проще, чем систем общего вида, и более детально раз­работаны

Таким образом, для линейных систем автоматического управления, т. е. для систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, можно запи­сать

(2.12)

В уравнении (2.12) для простоты предполагается, что точки приложения воз­мущающих воздействий совпадают с входом системы. Для решения (2.12) можно воспользоваться, например, операторным методом, заменяя дифференциальное ура­внение алгебраическим.

 

Таким образом, использование D-схем позволяет формализо­вать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и оценить их основные характеристики, применяя анали­тический или имитационный подход, реализованный в виде соответ­ствующего языка для моделирования непрерывных систем или ис­пользующий аналоговые и гибридные средства вычислительной техники.