Дискретно-стохастические модели

(Р -СХЕМЫ)

Рассмотрим особенности построения математических схем при дискретно-стохастическом подходе к формализации процесса функ­ционирования исследуемой системы S. Так как сущность дискретизации времени при этом подходе остается аналогич­ной рассмотренным в § 2.3 конечным автоматам, то влияние фактора стохастичности проследим также на разновидности таких автоматов, а именно на вероятностных (стохастических) автома­тах.

Основные соотношения. В общем виде вероятностный автомат (англ. probabilisticautomat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирова­ние которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Применение схем вероятностных автоматов (P-схем) имеет важ­ное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное пове­дение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям.

Введем математическое понятие P-автомата,используя поня­тия, введенные для F-автомата. Рассмотрим множество G,элемен­тами которого являются всевозможные пары , где и — элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции φ и ψ,то с их помощью осуществляются отображения G→Z и G→Y,то говорят, что F= <Z, X, Y, φ, ψ> определяет автомат детерминиро­ванного типа.

Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф — множество всевозможных пар вида , где — элемент выходного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

Элементы из Ф … ... ... …

… …

При этом , где — вероятности перехода автомата в состояние и появления на выходе сигнала ,если он был в состоянии , и на его вход в этот момент времени поступил сигнал .Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов P = <Z, X, Y, В> называ­ется вероятностным автоматом (P-автоматом).

Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z,что можно представить соответственно в виде:

Элементы из Y … …

… …

Элементы из Z … …

… …

При этом и , где и — вероятности перехо­да P-автомата в состояние и появления выходного сигнала при условии, что P-автомат находился в состоянии и на его вход поступил входной сигнал .

Если для всех и имеет место соотношение , то такой P-автомат называется вероятностным автоматом Мили. Это тре­бование означает выполнение условия независимости распределе­ний для нового состояния P-автомата и его выходного сигнала.

Пусть теперь определение выходного сигнала P-автомата зави­сит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющее следующие вид:

Элементы из Y … …

… …

Здесь , где — вероятность появления выходного сиг­нала при условии, что P-автомат находился в состоянии .

Возможные приложения. Если для всех и имеет место соот­ношение ,то такой P-автомат называется вероятностным автоматом Мура. Понятие P-автоматов Мили и Мура введено по аналогии с детерминированным F-автоматом,задаваемым F=<Z, X, Y, φ, ψ>. Частным случаем P-автомата,задаваемого как Р=<Z, X, Y, В>,являются автоматы, у которых либо переход вновое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано. Если выходной сигнал P-автомата определяется детерминировано, то такой автомат называется Y-детерминированным вероятностным автоматом. Аналогично, Z-детерминированным вероятностным автоматом называется P-автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.

Пример 2.4. Рассмотрим Y-детерминированныйP-автомат, который задан таб­лицей переходов (табл. 2.6) и таблицей выходов:

В этихтаблицах — вероятность перехода P-автомата из состояния в состояние . При этом, как и ранее, .

Первую из этих таблиц можно представать в виде квадратной матрицы размерности К x К,которую будем называть матрицей переходных вероятностей или просто матрицей переходов P-автомата. В общем случае такая матрица переходов имеет вид

Таблица 2.6

		…
…	…	…	… … … …	…	…

Для описания Y -детерминированного P-автомата необходимо задать начальное распределение вероятностей вида

Здесь - вероятность, того, что в начале работы P-автомат находится в состояния . При этом .

Будем считать, что до начала работы (до нулевого такта времени) f всегда находится а состоянии z,n нулевой такт времени меняет состояние в соот­ветствии с распределением D. Дальнейшая смена состояний P-автомата определяется матрицей переходов .Информацию о начальном состояния P-автомата удобно мести в матрицу , увеличив ее размерность до .При этом первая строка такой матрицы, сопоставляемая состоянию , будет иметь вид (0, d₁, d₂,..., …, d_k), а первый столбец будет нулевым.

Описанный Y -детерминированный P-автомат можно задать в виде ориентированного графа, вершины которого сопоставляются состояниям автомата, а дуги — возможным переходам из одного состояния в другое. Дуги имеют веса, соответствующие вероятностям перехода ,а около вершин графа пишутся значения выход­ных сигналов, индуцируемых этими состояниями.

Пример 2.5. Пусть задан Y -детерминированный P-автомат

На рис. 2.5 показан граф переходов этого автомата. Требуется оценить суммар­ные финальные вероятности пребывания этого P-автомата в состояниях и .

При использовании аналитического подхода можно записать известнее соотношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определения финальных вероятностей. При этом начальное состояние можно не учитывать, так как начальное распределение не оказывает влияния на значения финальных вероятностей. Тогда имеем

где — финальная вероятность пребывания P-автомата в состоянии .

Получаем систему уравнений

Добавим к этим уравнениям условие нормировки . Тогда, решая систему уравнений, получим , , , . Таким образом, . Другим словами, при бесконечной работе задан­ного в этом примере Y -детерминированного P-автомата на его выходеформируется двоичная последовательность с вероятностью появления единицы равной 0,5652.

Подобные P-автоматы могут испо­льзоваться как генераторы марковских последовательностей, которые необхо­димы при построении и реализации про­цессов функционирования систем S или воздействий внешней среды Е.

Для оценки различных характери­стик исследуемых систем, представляе­мых в виде P-схем, кроме рассмотрен­ного случая аналитических моделей мо­жно применять и имитационные моде­ли, реализуемые, например, методом статистического моделирования.