Лекция №7. Косвенный и двухшаговый метод наименьших квадратов. Метод максимального правдоподобия

План лекции:

1. Косвенный метод наименьших квадратов.

2. Двухшаговый метод наименьших квадратов.

3. Метод максимального правдоподобия.

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК).

В эконометрических моделях иногда используются балансовые тождества переменных (например, вида y₃= y₁+ y₂+ x₁). Коэффициенты при переменных при этом не требуют оценок и уравнение не надо исследовать на идентификацию, но в проверке на идентификацию всей системы эти уравнения участвуют. Присутствующие иногда в моделях свободные и остаточные члены (а₀₁, а₀₂, а₀₃,…e₁, e₂, e₃,…) не влияют на решение вопроса об идентификации.

При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Рассмотрим этот метод на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:

y₁= b₁₂ y₂+ a₁₁ x₁+ e₁

y₂= b₂₁ y₁ + a₂₂ x₂+ e₂

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице 1.

Фактические данные для построения модели

Таблица 1.

n	у₁	у₂	х₁	х₂
	33,0	37,1
	45,9	49,3
	42,2	41,6
	51,4	45,9
	49,0	37,4
	49,3	52,3
Сумма	270,8	263,6
Средн.знач.	45,133	43,930	7,500	10,333

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

y₁= d₁₁ x₁+ d₁₂ x₂+ u₁

y₂= d₂₁ x₁ + d₂₂ x₂+ u₂

u₁ и u₁ – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней y = y-y_cp и x = x-x_cp (y_cp и x_cp –средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 1 сведены в таблицу 2. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов d_ik. Переменные, означающие отклонение от средних значений изображаются далее жирным шрифтом и курсивом.

Для нахождения коэффициентов d₁_k первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Σ y₁x₁ = d₁₁ Σ x₁² + d₁₂ Σ x₁x₂

Σ y₁x₂ = d₁₁ Σ x₁x₂ + d₁₂ Σ x₂²

Таблица 2.

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

n у₁ у₂ х₁ х₂ у₁*х₁ х₁² х₁*х₂ у₁*х₂ у₂*х₁ у₂*х₂ х₂²

-12,133 -6,784 -4,500 0,667 54,599 20,250 -3,002 -8,093 30,528 -4,525 0,445

0,767 5,329 -0,500 5,667 -0,383 0,250 -2,834 4,347 -2,664 30,198 32,115

-2,933 -2,308 -0,500 -1,333 1,467 0,250 0,667 3,910 1,154 3,077 1,777

6,267 1,969 2,500 -1,333 15,668 6,250 -3,333 -8,354 4,922 -2,625 1,777

3,867 -6,541 2,500 -9,333 9,667 6,250 -23,333 -36,091 -16,353 61,048 87,105

4,167 8,337 0,500 5,667 2,084 0,250 2,834 23,614 4,168 47,244 32,115

Сумма 0,002 0,001 0,000 0,002 83,102 33,500 -29,001 -20,667 21,755 134,417 155,334

Подставляя рассчитанные в таблице 2. значения сумм, получим

83,102= 33,5d₁₁- 29,001d₁₂

-20,667= -29,001d₁₁ + 155,334d₁₂

Решение этих уравнений дает значения d₁₁ = 2,822 и d₁₂ = 0,394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид

y₁ = 2,822 x₁ + 0,394 x₂ + u₁

Для нахождения коэффициентов d ₂_k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Σ y₂x₁ = d₂₁ Σ x₁² + d₂₂ Σ x₁x₂

Σ y₂x₂ = d₂₁ Σ x₁x₂ + d₂₂ Σ x₂²

Подставляя рассчитанные в таблице 2. значения сумм, получим

21,755 = 33,5d₂₁- 29,001d₂₂

134,417= -29,001d₂₁ + 155,334d₂₂

Решение этих уравнений дает значения d ₂₁ =1,668 и d₂₂ =1,177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид

y₂ = 1,668 x₁ + 1,177 x₂ + u₂

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем x₂ из второго уравнения приведенной формы модели

x₂ = (y₂ - 1,668 x₁) / 1,177

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

y₁ = 2,822 x₁ + 0,394 (y₂ - 1,668 x₁) / 1,177 =

= 2,822 x₁ + 0,335 y₂ - 0,558 x₁ = 0,335 y₂ + 2,264 x₁